Para responder os itens a seguir, considere um computador fictício onde cada número é representado usando 13 bits, da seguinte forma:
  • A base de representação dos números é 2 .
  • O primeiro bit armazena o dígito que representa o sinal do número.
  • Os últimos 8 bits são destinados a armazenar os dígitos da mantissa (a mantissa é a listagem dos dígitos que ficam após a vírgula, considerando que a vírgula está posicionada logo após o primeiro dígito não nulo da esquerda para a direita).
  • O segundo ao quinto bit (4 bits) são destinados ao expoente (lembrando de separar as representações 0000 e 1111 para os casos especiais).
    ( ) 0, 0078125 é o menor número não nulo (em módulo, considerando a denormalização) que o computador consegue representar bem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre representação de números binários em um computador fictício que usa 13 bits. O primeiro bit indica o sinal, os próximos 4 bits são para o expoente, e os últimos 8 bits são para a mantissa. A pergunta é se o número 0,0078125 é o menor número não nulo que esse computador consegue representar bem, considerando a denormalização. Vamos precisar entender como funciona essa representação para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como os números são representados nesse sistema. O número é composto por três partes:
  1. Sinal (1 bit): Indica se o número é positivo ou negativo.
  2. Expoente (4 bits): Determina a posição da vírgula.
  3. Mantissa (8 bits): Os dígitos significativos do número.
A fórmula geral para representar um número é:
N = (-1)^s times 1m times 2^e - bias
Onde:
  • $ s $ é o bit de sinal.
  • $ m $ é a mantissa.
  • $ e $ é o valor do expoente armazenado.
  • $ bias $ é o valor de compensação do expoente.

Passo 3

Como temos 4 bits para o expoente, o bias geralmente é $ 2^{n-1} - 1 $, onde $ n $ é o número de bits do expoente. Então,
2^n-1 - 1

Passo 4

O menor expoente normalizado ocorre quando todos os bits do expoente são zero, mas nesse caso, esses códigos são reservados para números especiais como denormalizados. Para números normalizados, o menor expoente seria:
emin = 1
Então, o menor número normalizado seria:
Nmin = 1.00000000 times 2^1 - 7 = 1 times 2^-6 = 0,015625

Passo 5

Agora, considerando denormalização (quando o expoente é zero), o número pode ser ainda menor. A fórmula para números denormalizados é:
N = (-1)^s times 0m times 2^1 - bias
Aqui, o menor valor ocorre quando a mantissa tem apenas o último bit em 1:
m = 00000001
Então,
Nmindenorm = 0.00000001 times 2^-6 = 2^-8 times 2^-6 = 2^-14
Calculando $ 2^{-14} $:
2^-14

Passo 6

No entanto, o enunciado menciona 0,0078125. Vamos verificar se esse valor corresponde ao menor número não nulo.
Calculando $ 0,0078125 $:
0,0078125
Comparando com o cálculo anterior, vemos que $ 2^{-14} $ é menor que $ 2^{-7} $.

Resposta

Não, o menor número não nulo que o computador consegue representar bem, considerando a denormalização, é aproximadamente 0,00006103515625.

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