Para responder os itens a seguir, considere um computador fictício onde cada número é representado usando 13 bits, da seguinte forma:
- A base de representação dos números é 2 .
- O primeiro bit armazena o dígito que representa o sinal do número.
- Os últimos 8 bits são destinados a armazenar os dígitos da mantissa (a mantissa é a listagem dos dígitos que ficam após a vírgula, considerando que a vírgula está posicionada logo após o primeiro dígito não nulo da esquerda para a direita).
- O segundo ao quinto bit (4 bits) são destinados ao expoente (lembrando de separar as representações 0000 e 1111 para os casos especiais).
( ) 0, 015625 é o menor número não nulo (em módulo, desconsiderando a denormalização) que o computador consegue representar bem.
( ) 0, 015625 é o menor número não nulo (em módulo, desconsiderando a denormalização) que o computador consegue representar bem.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A questão fala sobre como números são representados em um computador fictício usando 13 bits. A gente vai precisar entender sobre representação binária, mantissa, expoente e como esses componentes interagem para formar números reais. Nosso objetivo é verificar se o número 0,015625 é realmente o menor número não nulo que esse computador consegue representar, desconsiderando números denormalizados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura dos 13 bits:
- 1º bit: Indica o sinal do número (0 para positivo, 1 para negativo).
- 2º ao 5º bit: Representam o expoente em 4 bits.
- 6º ao 13º bit: São a mantissa, ou seja, os dígitos que aparecem depois da vírgula.
Como a base é 2, estamos lidando com números binários. A mantissa nos dá a parte fracionária do número, e o expoente nos indica a potência de 2 que vamos multiplicar.
Passo 3
Vamos falar sobre o expoente. Com 4 bits para o expoente, conseguimos representar valores de 0 a 15 em binário. No entanto, os valores 0000 e 1111 são reservados para casos especiais, então nosso expoente real varia de 1 a 14. Para facilitar os cálculos, geralmente usamos um viés (bias). Nesse caso, o viés é
. Isso significa que o expoente real é o valor binário menos 7.
Por exemplo:
- Expoente binário 0001 representa
- Expoente binário 1110 representa
Passo 4
Agora, vamos para a mantissa. Com 8 bits, a mantissa representa uma fração após a vírgula em binário. Em números normalizados, sempre consideramos que há um 1 implícito antes da vírgula. Então, a mantissa mínima normalizada seria
em binário.
Para encontrar o menor número positivo normalizado, precisamos:
- Usar o menor expoente possível, que é -6.
- Usar a menor mantissa possível, que é
.
Então, o menor número positivo seria:
Resposta
Sim, 0,015625 é o menor número não nulo (em módulo, desconsiderando a denormalização) que o computador consegue representar bem.