A resposta dinâmica de um biorreator com tanque agitado pode ser representada pela função de transferência \frac{C^{\prime}(S)}{C_{F}^{\prime}(S)}=\frac{4}{2 S+1}, onde C^{\prime} é a concentração de substrato de saida, \operatorname{mol} / \mathrm{L} e C_{F}^{\prime} é a concentração de substrato de alimentação, mol/L. Pede-se: a) Uma expressão para c^{\prime}(t) se c_{F}(t) for um pulso retangular com as seguintes características: c_{F}(t)=\left\{\begin{array}{l}2 \rightarrow t<0 \\\\ 4 \rightarrow 0 \leq t<2 \\\\ 2 \rightarrow 2 \leq t<\infty\end{array}\right., b) Quando ocorre e qual é o valor máximo de c^{\prime}(t), c) Se o valor inicial para c(0)=1, quanto tempo demora para c(t) retornar a um valor de 1,05 depois de atingir seu valor máximo?
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência do reactor agitado
H(s)=\frac{C'(s)}{C_F'(s)}=\frac{4}{2s+1}
e a entrada em tempo t\),
\[c_F(t)= \begin{cases} 2, & t<0,\\\\ 4, & 0\le t<2,\\\\ 2, & t\ge2 \end{cases}
Pede‐se
a) c'(t)\] para essa entrada,
b) instante e valor máximo de \(c'(t),
c) se tomarmos c(0)=1, quanto tempo leva para c(t) voltar a 1,05 depois do pico.
Passo 2
Escrevemos c_F(t) como duas etapas de degrau sobre o valor-base 2:
c_F(t)=2+2\,u(t)-2\,u(t-2)\,.
O ganho em regime permanente (DC) é \displaystyle H(0)=\frac{4}{1}=4
e a constante de tempo é \tau=\tfrac{2}{1}=2.
Passo 3
A resposta a um degrau de amplitude \Delta C_F é \Delta c'(t)=4\Delta C_F\bigl(1-e^{-t/2}\bigr).
Para o pulso retangular resulta, em cada região:
1.t<0: está em regime com c_F=2, logo \;c'(t)=4\cdot2=8.
(b) O pico ocorre em t=2\\ \text{s} e vale \;c'(2)=16-8e^{-1}\approx13{,}06.
(c) Após o pico demora \displaystyle \Delta t\approx5{,}07\\ \text{s}
para c(t) voltar a 1{,}05 (normalizado).