Em resposta a um edital de financiamento de projetos, uma empresa de tecnologia da área de petróleo e gás apresenta três projetos (
e C ). Os analistas da empresa consideram que há
de chance do projeto A ser aprovado,
de chance do projeto B ser aprovado,
de chance de serem aprovados os projetos A e B,
de chance de aprovarem os projetos A e C,
de chance de aprovarem os projetos B e C e apenas
de chances de que os 3 projetos sejam sejam aprovados. Por fim, os analistas concluíram também que se o projeto C for aprovado, a chance do projeto A ser aprovado cai para 12,5%. Responda ao que se pede: [1,5 pontos]
Considerando apenas os projetos A e B, qual a probabilidade <br> de aprovarem pelo menos um dos dois projetos? | |
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Qual a probabilidade do projeto C ser aprovado? | |
Qual a probabilidade de que nenhum dos três projetos <br> seja aprovado? | |
Se o projeto B for aprovado, qual a probabilidade do projeto A <br> ser aprovado? | |
Os projetos A e C são independentes? Cite dado(s) da questão <br> que comprovam sua resposta |
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente está lidando com Probabilidade, especificamente com a chance de aprovação de três projetos numa empresa de tecnologia no setor de petróleo e gás. Para resolver as questões, vamos precisar usar conceitos como probabilidade de união de eventos, probabilidade condicional e verificar se eventos são independentes. Vamos quebrar tudo em passos bem simples!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de pelo menos um dos projetos A ou B ser aprovado. Isso significa que queremos saber a chance de A ser aprovado, ou B ser aprovado, ou os dois. A fórmula que usamos aqui é:
Substituindo os valores que temos:
Então, a probabilidade de pelo menos um dos projetos A ou B ser aprovado é de 39%.
Passo 3
Agora, queremos saber qual a probabilidade do projeto C ser aprovado. Sabemos que:
A probabilidade condicional $ P(A|C) $ significa a chance de A ser aprovado dado que C foi aprovado. Usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Resolvendo para $ P© $:
Então, a probabilidade do projeto C ser aprovado é de 40%.
Passo 4
Vamos calcular a probabilidade de que nenhum dos três projetos seja aprovado. Primeiro, encontramos a probabilidade de pelo menos um ser aprovado usando a regra da inclusão-exclusão:
Substituindo os valores:
Agora, a probabilidade de nenhum ser aprovado é:
Portanto, há 32% de chance de que nenhum dos três projetos seja aprovado.
Passo 5
Queremos saber a probabilidade do projeto A ser aprovado dado que o projeto B foi aprovado, ou seja, $ P(A|B) $. Usamos a fórmula da probabilidade condicional:
Substituindo os valores:
Convertendo para porcentagem:
Então, se o projeto B for aprovado, há aproximadamente 39,3% de chance de que o projeto A também seja aprovado.
Passo 6
Por fim, vamos verificar se os projetos A e C são independentes. Dois eventos são independentes se:
Vamos calcular o lado direito:
Mas sabemos que:
Como $ 0,05 \neq 0,088 $, os projetos A e C não são independentes.
Resposta
- 39% de chance de pelo menos um dos projetos A ou B ser aprovado.
- 40% de chance do projeto C ser aprovado.
- 32% de chance de que nenhum dos três projetos seja aprovado.
- Se o projeto B for aprovado, há aproximadamente 39,3% de chance do projeto A também ser aprovado.
- Não, os projetos A e C não são independentes, já que $ P(A \cap C) \neq P(A) \times P© $.