Em resposta a um edital de financiamento de projetos, uma empresa de tecnologia da área de petróleo e gás apresenta três projetos ( A, B e C ). Os analistas da empresa consideram que há 22 % de chance do projeto A ser aprovado, 28 % de chance do projeto B ser aprovado, 11 % de chance de serem aprovados os projetos A e B, 5 % de chance de aprovarem os projetos A e C, 7 % de chance de aprovarem os projetos B e C e apenas 1 % de chances de que os 3 projetos sejam sejam aprovados. Por fim, os analistas concluíram também que se o projeto C for aprovado, a chance do projeto A ser aprovado cai para 12,5%. Responda ao que se pede: [1,5 pontos]
Considerando apenas os projetos A e B, qual a probabilidade <br> de aprovarem pelo menos um dos dois projetos?
Qual a probabilidade do projeto C ser aprovado?
Qual a probabilidade de que nenhum dos três projetos <br> seja aprovado?
Se o projeto B for aprovado, qual a probabilidade do projeto A <br> ser aprovado?
Os projetos A e C são independentes? Cite dado(s) da questão <br> que comprovam sua resposta

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente está lidando com Probabilidade, especificamente com a chance de aprovação de três projetos numa empresa de tecnologia no setor de petróleo e gás. Para resolver as questões, vamos precisar usar conceitos como probabilidade de união de eventos, probabilidade condicional e verificar se eventos são independentes. Vamos quebrar tudo em passos bem simples!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de pelo menos um dos projetos A ou B ser aprovado. Isso significa que queremos saber a chance de A ser aprovado, ou B ser aprovado, ou os dois. A fórmula que usamos aqui é:
P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)
Substituindo os valores que temos:
P(A cup B) = 0,22 + 0,28 - 0,11 = 0,39
Então, a probabilidade de pelo menos um dos projetos A ou B ser aprovado é de 39%.

Passo 3

Agora, queremos saber qual a probabilidade do projeto C ser aprovado. Sabemos que:
P(A cap C) = 0,05
P(A|C) = 0,125
A probabilidade condicional $ P(A|C) $ significa a chance de A ser aprovado dado que C foi aprovado. Usamos a fórmula:
P(A|C)
Substituindo os valores:
P(A cap C) = P(A|C) times P(C)
Resolvendo para $ P© $:
0,05 = 0,125 times P(C)
Então, a probabilidade do projeto C ser aprovado é de 40%.

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade de que nenhum dos três projetos seja aprovado. Primeiro, encontramos a probabilidade de pelo menos um ser aprovado usando a regra da inclusão-exclusão:
P(A cup B cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A cap B) - P(A cap C) - P(B cap C) + P(A cap B cap C)
Substituindo os valores:
P(A cup B cup C) = 0,22 + 0,28 + 0,4 - 0,11 - 0,05 - 0,07 + 0,01 = 0,68
Agora, a probabilidade de nenhum ser aprovado é:
P(nenhum) = 1 - P(A cup B cup C) = 1 - 0,68 = 0,32
Portanto, há 32% de chance de que nenhum dos três projetos seja aprovado.

Passo 5

Queremos saber a probabilidade do projeto A ser aprovado dado que o projeto B foi aprovado, ou seja, $ P(A|B) $. Usamos a fórmula da probabilidade condicional:
P(A|B)
Substituindo os valores:
P(A|B) = P(A cap B)P(B)
Convertendo para porcentagem:
P(A|B) = 0,110,28 approx 0,3929
Então, se o projeto B for aprovado, há aproximadamente 39,3% de chance de que o projeto A também seja aprovado.

Passo 6

Por fim, vamos verificar se os projetos A e C são independentes. Dois eventos são independentes se:
P(A cap C) = P(A) times P(C)
Vamos calcular o lado direito:
P(A) times P(C) = 0,22 times 0,4 = 0,088
Mas sabemos que:
P(A cap C) = 0,05
Como $ 0,05 \neq 0,088 $, os projetos A e C não são independentes.

Resposta

  1. 39% de chance de pelo menos um dos projetos A ou B ser aprovado.
  2. 40% de chance do projeto C ser aprovado.
  3. 32% de chance de que nenhum dos três projetos seja aprovado.
  4. Se o projeto B for aprovado, há aproximadamente 39,3% de chance do projeto A também ser aprovado.
  5. Não, os projetos A e C não são independentes, já que $ P(A \cap C) \neq P(A) \times P© $.

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