Verifique que a seguinte função é uma função de probabilidade e determine as probabilidades requeridas:
x -2 -1 0 1 2
f(x) 1 / 8 2 / 8 2 / 8 2 / 8 1 / 8
(a) P(X <= 2)
(b) P(X>-2)
© P(-1 <= X <= 1)
(d) P(X <=-1 ou X=2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma tabela que define uma função de probabilidade para a variável aleatória $ X $. Primeiro, vamos checar se essa tabela realmente representa uma função de probabilidade. Depois, vamos calcular umas probabilidades específicas que foram pedidas: $ P(X \leq 2) $, $ P(X > -2) $, $ P(-1 \leq X \leq 1) $ e $ P(X \leq -1 ou X = 2) $. Para isso, precisamos lembrar que as probabilidades devem somar 1 e que cada probabilidade individual deve ser entre 0 e 1.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a tabela dada é realmente uma função de probabilidade. Para isso, precisamos garantir que:
  1. Todas as probabilidades $ f(x) $ são maiores ou iguais a 0.
  2. A soma de todas as probabilidades é igual a 1.
Vamos somar todas as probabilidades:
f(x)
Como todas as probabilidades são não negativas e a soma das probabilidades é 1, a função $ f(x) $ é uma função de probabilidade válida.

Passo 3

Agora, vamos resolver a parte (a): $ P(X \leq 2) $.
Isso significa a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a 2. Olhando para a tabela, vemos que os valores de $ X $ são -2, -1, 0, 1 e 2. Como todos esses valores são menores ou iguais a 2, a probabilidade será a soma de todas elas.
P(X <= 2)

Passo 4

Vamos para a parte (b): $ P(X > -2) $.
Isso quer dizer a probabilidade de $ X $ ser maior que -2. Na tabela, $ X = -2 $ é o menor valor. Então, $ X > -2 $ inclui os valores -1, 0, 1 e 2.
P(X > -2)

Passo 5

Agora, a parte ©: $ P(-1 \leq X \leq 1) $.
Aqui, queremos a probabilidade de $ X $ ser entre -1 e 1, incluindo esses valores. Os valores de $ X $ que atendem a essa condição são -1, 0 e 1.
P(-1 <= X <= 1)

Passo 6

Por último, a parte (d): $ P(X \leq -1 ou X = 2) $.
Isso significa a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a -1 ou exatamente igual a 2. Os valores que satisfazem são -2, -1 e 2.
P(X <= -1 ou X = 2)

Resposta

(a) $ P(X \leq 2) = 1 $
(b) $ P(X > -2) = \frac{7}{8} $
© $ P(-1 \leq X \leq 1) = \frac{3}{4} $
(d) $ P(X \leq -1 ou X = 2) = \frac{1}{2} $

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