Durante o auge da pandemia de Covid19, uma empresa farmacêutica lançou um novo tipo de teste rápido para detectar se a pessoa está contaminada com o vírus. A partir de ensaios clínicos realizados em seus laboratórios, a empresa alega que, dentre as pessoas que estavam contaminadas, o teste acusou positivo em
das vezes. A probabilidade de falso alarme foi de
(teste positivo quando a pessoa não está contaminada). Sabe-se ainda que
das pessoas testadas estavam contaminadas e tiveram o teste positivo. Com base nestes dados, responda:
© Qual a probabilidade de uma pessoa estar realmente contaminada se seu teste deu positivo?
© Qual a probabilidade de uma pessoa estar realmente contaminada se seu teste deu positivo?
Passo 1
Então, vamos resumir o que a questão está pedindo e o que precisamos para resolver. A gente tem um teste rápido para Covid19 que, quando a pessoa está realmente contaminada, o teste dá positivo 90% das vezes. Se a pessoa não está contaminada, o teste ainda pode dar positivo 5% das vezes (isso é chamado de falso alarme). Além disso, sabemos que 1,8% das pessoas testadas estavam contaminadas e tiveram o teste positivo. A pergunta é: qual a chance de uma pessoa realmente estar contaminada se o teste deu positivo?
Para resolver isso, vamos precisar usar probabilidade condicional e, mais especificamente, o Teorema de Bayes. Vamos calcular passo a passo para entender tudo direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os termos importantes:
- Probabilidade de teste positivo dado que a pessoa está contaminada: $ P(Teste positivo \mid Contaminada) = 0,90 $ (90%).
- Probabilidade de teste positivo dado que a pessoa não está contaminada: $ P(Teste positivo \mid Não contaminada) = 0,05 $ (5%).
- Probabilidade de a pessoa estar contaminada e o teste dar positivo: $ P(Contaminada e Teste positivo) = 0,018 $ (1,8%).
Passo 3
Vamos identificar o que queremos encontrar: $ P(Contaminada \mid Teste positivo) $. Isso significa a probabilidade de a pessoa estar realmente contaminada, dado que o teste deu positivo.
Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a inverter as condições das probabilidades condicionais. A fórmula é:
Passo 4
Primeiro, precisamos encontrar $ P(Contaminada) $, que é a probabilidade de uma pessoa estar contaminada, independentemente do teste. Sabemos que:
Já temos $ P(Contaminada e Teste positivo) = 0,018 $ e $ P(Teste positivo \mid Contaminada) = 0,90 $. Então:
Resolvendo para $ P(Contaminada) $:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ P(Teste positivo) $, que é a probabilidade de uma pessoa ter o teste positivo, independentemente de estar contaminada ou não. Isso inclui dois cenários:
- A pessoa está contaminada e o teste deu positivo.
- A pessoa não está contaminada, mas o teste deu positivo (falso positivo).
Então:
Sabemos que $ P(Contaminada) = 0,02 $ e, portanto, $ P(Não contaminada) = 1 - 0,02 = 0,98 $. Substituindo os valores:
Passo 6
Agora que temos todos os componentes, vamos aplicar o Teorema de Bayes:
Resposta
A probabilidade de uma pessoa estar realmente contaminada, dado que o teste deu positivo, é de aproximadamente 26,9%.