Resposta ao impulso e convolução:
a) O que é convolução?
b) Escreva a fórmula da convolução discreta.
c) Escreva a fórmula da convolução contínua.
d) O que é resposta ao impulso?
e) Como a resposta ao impulso pode auxiliar na obtenção da resposta a um outro sinal x(n) ou x(t) ?
f) A convolução é comutativa? Prove a sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para tratarmos de resposta ao impulso e convolução em sistemas lineares invariantes no tempo (LTI). Vamos precisar definir o que é convolução, escrever suas fórmulas nos domínios discreto e contínuo, definir resposta ao impulso, explicar como ela gera a saída para qualquer sinal de entrada e, por fim, mostrar que a convolução é comutativa.

Passo 2

A convolução é uma operação matemática que, dado um sistema LTI com resposta ao impulso h e uma entrada x, produz a saída y como uma “sobreposição ponderada” de h e de x. Intuitivamente, invertemos um dos sinais, deslocamos no tempo e somamos produto a produto para obter cada valor de saída.

Passo 3

A fórmula da convolução no tempo discreto é
y[n] \;=\;(x * h)[n]\;=\;\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\,h[n - k].
A fórmula da convolução no tempo contínuo é
y(t) \;=\;(x * h)(t)\;=\;\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,h\bigl(t - \tau\bigr)\,\mathrm{d}\tau.

Passo 4

A resposta ao impulso de um sistema LTI é a saída que ele produz quando a entrada é o impulso unitário. No domínio discreto, esse impulso é \delta[n]; no contínuo, é \delta(t). Chamamos essa saída de h[n] ou h(t).

Passo 5

Como qualquer sinal de entrada x pode ser decomposto em impulsos escalonados (somatório ou integral de \delta), e o sistema é linear e invariante no tempo, a saída para x é justo a convolução de x com h. Ou seja, conhecendo h, basta aplicar as fórmulas do Passo 3 para obter y.

Passo 6

A convolução é comutativa, ou seja,
x * h \;=\; h * x.
Prova para o caso discreto:
\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\,h[n - k]
faça a mudança de variável m = n - k. Então k = n - m e, como k varia em toda reta inteira, m também varia em toda reta inteira:
\sum_{m=-\infty}^{\infty} x[n - m]\,h[m] \;=\;\sum_{m=-\infty}^{\infty} h[m]\,x[n - m] \;=\;(h * x)[n].
O mesmo raciocínio vale para a integral contínua, trocando \tau por t - \tau.

Resposta

a) Convolução é a operação que combina dois sinais em um terceiro, somando produtos de valores de um deles invertido e deslocado em relação ao outro.
b) \displaystyle y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]\,h[n-k].
c) \displaystyle y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\,h\bigl(t-\tau\bigr)\,\mathrm{d}\tau.
d) Resposta ao impulso é a saída do sistema LTI quando a entrada é o impulso \delta[n] ou \delta(t), denotada por h[n] ou h(t).
e) Pela propriedade LTI, a saída para qualquer x é y=x*h; conhecendo h, fazemos a convolução para obter y.
f) Sim, a convolução é comutativa, pois pela mudança de variável na soma (ou na integral) mostra-se que x*h = h*x.

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