Resposta ao impulso e convolução:
a) O que é convolução?
b) Escreva a fórmula da convolução discreta.
c) Escreva a fórmula da convolução contínua.
d) O que é resposta ao impulso?
e) Como a resposta ao impulso pode auxiliar na obtenção da resposta a um outro sinal
ou
?
f) A convolução é comutativa? Prove a sua resposta.
a) O que é convolução?
b) Escreva a fórmula da convolução discreta.
c) Escreva a fórmula da convolução contínua.
d) O que é resposta ao impulso?
e) Como a resposta ao impulso pode auxiliar na obtenção da resposta a um outro sinal
f) A convolução é comutativa? Prove a sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para tratarmos de resposta ao impulso e convolução em sistemas lineares invariantes no tempo (LTI). Vamos precisar definir o que é convolução, escrever suas fórmulas nos domínios discreto e contínuo, definir resposta ao impulso, explicar como ela gera a saída para qualquer sinal de entrada e, por fim, mostrar que a convolução é comutativa.
Passo 2
A convolução é uma operação matemática que, dado um sistema LTI com resposta ao impulso
e uma entrada
, produz a saída
como uma “sobreposição ponderada” de
e de
. Intuitivamente, invertemos um dos sinais, deslocamos no tempo e somamos produto a produto para obter cada valor de saída.
Passo 3
A fórmula da convolução no tempo discreto é
A fórmula da convolução no tempo contínuo é
Passo 4
A resposta ao impulso de um sistema LTI é a saída que ele produz quando a entrada é o impulso unitário. No domínio discreto, esse impulso é
; no contínuo, é
. Chamamos essa saída de
ou
.
Passo 5
Como qualquer sinal de entrada
pode ser decomposto em impulsos escalonados (somatório ou integral de
), e o sistema é linear e invariante no tempo, a saída para
é justo a convolução de
com
. Ou seja, conhecendo
, basta aplicar as fórmulas do Passo 3 para obter
.
Passo 6
A convolução é comutativa, ou seja,
Prova para o caso discreto:
faça a mudança de variável
. Então
e, como
varia em toda reta inteira,
também varia em toda reta inteira:
O mesmo raciocínio vale para a integral contínua, trocando
por
.
Resposta
a) Convolução é a operação que combina dois sinais em um terceiro, somando produtos de valores de um deles invertido e deslocado em relação ao outro.
b)
c)
d) Resposta ao impulso é a saída do sistema LTI quando a entrada é o impulso ou
, denotada por
ou
.
e) Pela propriedade LTI, a saída para qualquer é
; conhecendo
, fazemos a convolução para obter
.
f) Sim, a convolução é comutativa, pois pela mudança de variável na soma (ou na integral) mostra-se que .
b)
c)
d) Resposta ao impulso é a saída do sistema LTI quando a entrada é o impulso
e) Pela propriedade LTI, a saída para qualquer
f) Sim, a convolução é comutativa, pois pela mudança de variável na soma (ou na integral) mostra-se que