Repita o problema anterior para
h(t)=4 e^{-2 t} \cos (3 t) u(t)
e para cada uma das seguintes entradas x(t) :
e^{-t} u(t)

Passo 1

O enunciado dá a resposta ao impulso do sistema e a entrada e pede que a gente calcule a saída (a convolução entre sinal e resposta ao impulso). Informações dadas:
h(t)=4 e^{-2 t}\cos(3t)\,u(t)
x(t)=e^{-t}\,u(t)
Pergunta: determinar a saída y(t)=(h*x)(t) para t\ge 0 (assumindo sistema causal).

Passo 2

Escolha do método (sem ficar filosófico): para sinais causais multiplicação no domínio de Laplace é a forma mais prática de calcular convolução no tempo. A ideia é:
\text{se }Y(s)=H(s)X(s)\text{ então }y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}.ã
Vou usar transformadas de Laplace para calcular H(s), X(s), multiplicar e depois inverter com decomposição em frações parciais. Isto evita integrar convoluções directamente e é rápido na prova.

Passo 3

Aplique a transformada de Laplace (relembrando a fórmula importante):
a fórmula padrão que usamos é
\mathcal{L}\{e^{-a t}\cos(bt)\,u(t)\}=\frac{s+a}{(s+a)^2+b^2},
onde a e b são constantes e s é a variável da transformada. Aqui, em h(t) temos a=2 e b=3, e um fator multiplicativo 4. Portanto
H(s)=4\cdot\frac{s+2}{(s+2)^2+3^2}=4\cdot\frac{s+2}{(s+2)^2+9}.
Para x(t)=e^{-t}u(t) a transformada é a bem conhecida
X(s)=\mathcal{L}\{e^{-t}u(t)\}=\frac{1}{s+1}.
(Recorde: \mathcal{L}\{e^{-a t}u(t)\}=1/(s+a).)

Passo 4

Multiplique no domínio s para obter Y(s):
Y(s)=H(s)X(s)=4\cdot\frac{s+2}{(s+2)^2+9}\cdot\frac{1}{s+1} =\frac{4(s+2)}{(s+1)\big((s+2)^2+9\big)}.

Passo 5

Fazer a decomposição em frações parciais. Para facilitar, defino p=s+2\) (mudança útil porque aparece \((s+2)\) muitas vezes). Então \(s=p-2\) e \(s+1=p-1\). Em função de \(p\): \[Y(s)=\frac{4p}{(p-1)(p^2+9)}.
Proponho a decomposição
\frac{4p}{(p-1)(p^2+9)}=\frac{A}{p-1}+\frac{Bp+C}{p^2+9}.
Multiplicando ambos os lados por (p-1)(p^2+9) obtemos a identidade polinomial
4p = A(p^2+9) + (Bp+C)(p-1).
Agora expandimos o lado direito:
A p^2 + 9A + (Bp+C)(p-1)=A p^2 + 9A + Bp^2 + (C-B)p - C.
Agrupando termos:
(A+B)p^2 + (C-B)p + (9A - C).
Comparando coeficientes com o lado esquerdo 4p = 0\cdot p^2 + 4p + 0, obtemos o sistema linear:
\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] C - B = 4,\\[4pt] 9A - C = 0. \end{cases}
Resolvo passo a passo: da terceira equação C=9A\]. Da primeira \(B=-A. Substituindo na segunda:
9A - (-A) = 4 \quad\Rightarrow\quad 10A = 4 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{2}{5}.
Então
B=-\frac{2}{5},\qquad C=9A=\frac{18}{5}.]

Passo 6

Volto à variável s (lembre que p=s+2). A decomposição fica
Y(s)=\frac{A}{s+1}+\frac{B(s+2)+C}{(s+2)^2+9}
com
A=\frac{2}{5},\quad B=-\frac{2}{5},\quad C=\frac{18}{5}.
Separe em termos conhecidos:
Y(s)=\frac{2/5}{s+1}+\left(-\frac{2}{5}\right)\frac{s+2}{(s+2)^2+3^2}+\frac{18/5}{(s+2)^2+3^2}.

Passo 7

Agora aplico as transformadas inversas conhecidas termo a termo. Lembrando as pares padrão:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+a}\right\}=e^{-a t}u(t),
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s+a}{(s+a)^2+b^2}\right\}=e^{-a t}\cos(bt)\,u(t),
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+a)^2+b^2}\right\}=\frac{1}{b}e^{-a t}\sin(bt)\,u(t).
Aplicando a cada parcela de Y(s):
  • \dfrac{2/5}{s+1} vira \dfrac{2}{5}e^{-t}u(t).
  • -\dfrac{2}{5}\dfrac{s+2}{(s+2)^2+3^2} vira -\dfrac{2}{5}e^{-2t}\cos(3t)\,u(t).
  • \dfrac{18/5}\dfrac{1}{(s+2)^2+3^2} vira \dfrac{18}{5}\cdot\frac{1}{3}e^{-2t}\sin(3t)\,u(t)=\dfrac{6}{5}e^{-2t}\sin(3t)\,u(t).
Somando os termos (e mantendo o fator unit step u(t) comum) obtemos a saída y(t). (A soma algébrica é direta, não esqueça de colocar u(t) ao final porque os sinais são causais.)

Resposta

y(t)=\left(\frac{2}{5}e^{-t}+e^{-2t}\!\left(-\frac{2}{5}\cos(3t)+\frac{6}{5}\sin(3t)\right)\right)u(t)

Exercícios relacionados