e para cada uma das seguintes entradas x(t) : e^{-t} u(t)
Passo 1
O enunciado dá a resposta ao impulso do sistema e a entrada e pede que a gente calcule a saída (a convolução entre sinal e resposta ao impulso). Informações dadas:
h(t)=4 e^{-2 t}\cos(3t)\,u(t)
x(t)=e^{-t}\,u(t)
Pergunta: determinar a saída y(t)=(h*x)(t) para t\ge 0 (assumindo sistema causal).
Passo 2
Escolha do método (sem ficar filosófico): para sinais causais multiplicação no domínio de Laplace é a forma mais prática de calcular convolução no tempo. A ideia é:
\text{se }Y(s)=H(s)X(s)\text{ então }y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}.
Vou usar transformadas de Laplace para calcular H(s), X(s), multiplicar e depois inverter com decomposição em frações parciais. Isto evita integrar convoluções directamente e é rápido na prova.
Passo 3
Aplique a transformada de Laplace (relembrando a fórmula importante):
a fórmula padrão que usamos é
Fazer a decomposição em frações parciais. Para facilitar, defino p=s+2\) (mudança útil porque aparece \((s+2)\) muitas vezes). Então \(s=p-2\) e \(s+1=p-1\). Em função de \(p\):
\[Y(s)=\frac{4p}{(p-1)(p^2+9)}.
Somando os termos (e mantendo o fator unit step u(t) comum) obtemos a saída y(t). (A soma algébrica é direta, não esqueça de colocar u(t) ao final porque os sinais são causais.)