Repita o problema anterior para:
e se a entrada
for
Passo 1
O enunciado pede para repetir o problema anterior (ou seja, calcular a saída do sistema
quando a entrada é dada), mas agora com a resposta ao impulso e a entrada trocadas para:
e
Informações relevantes fornecidas:
- Temos
e explícitos, ambos multiplicados por (portanto ambos são causais). - A tarefa implícita é encontrar a saída
do sistema linear e invariante no tempo (LTI) dada pela convolução .
Passo 2
Lembrando a definição de convolução para sinais no tempo contínuo: para dois sinais
e
,
Explicação didática: essa integral “desliza” um sinal sobre o outro e soma a sobreposição. Como ambos
e
são multiplicados por
(função degrau unitário), eles são nulos para argumentos negativos, o que simplifica os limites de integração.
Passo 3
Como
para
e
quando
(ou seja,
), os limites de integração reduzem-se a
variando entre
e
para
. Assim, para
,
Observação: para
a convolução dá
porque ambos sinais são causais.
Passo 4
Simplifico o integrando. Primeiro note que
. Substituindo,
Posso fatorar
(constante em relação a
):
Agora combino as potências de
:
e
. Então
Passo 5
Calculo as integrais termo a termo.
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Subtraindo os dois resultados (pois o integrando é
):
Passo 6
Volto à expressão de
com o fator
externo:
válido para
. Como o sistema é causal, anexo o fator
para indicar nulidade para
: