Repita o problema anterior para:
h(t)=\left[2 e^{-3 t}-e^{-2 t}\right] u(t)
e se a entrada x(t) for
e^{-t} u(t)

Passo 1

O enunciado pede para repetir o problema anterior (ou seja, calcular a saída do sistema y(t) quando a entrada é dada), mas agora com a resposta ao impulso e a entrada trocadas para:
h(t)=\left[2 e^{-3 t}-e^{-2 t}\right] u(t)
e
x(t)=e^{-t} u(t).
Informações relevantes fornecidas:
  • Temos h(t) e x(t) explícitos, ambos multiplicados por u(t) (portanto ambos são causais).
  • A tarefa implícita é encontrar a saída y(t) do sistema linear e invariante no tempo (LTI) dada pela convolução y(t)=h(t)*x(t).

Passo 2

Lembrando a definição de convolução para sinais no tempo contínuo: para dois sinais h(t) e x(t),
y(t)=(h*x)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau.
Explicação didática: essa integral “desliza” um sinal sobre o outro e soma a sobreposição. Como ambos h e x são multiplicados por u(t) (função degrau unitário), eles são nulos para argumentos negativos, o que simplifica os limites de integração.

Passo 3

Como h(\tau)=0 para \tau<0 e x(t-\tau)=0 quando t-\tau<0 (ou seja, \tau>t), os limites de integração reduzem-se a \tau variando entre 0 e t para t\ge 0. Assim, para t\ge 0,
y(t)=\int_{0}^{t} \big[2 e^{-3\tau}-e^{-2\tau}\big]\; e^{-(t-\tau)}\,d\tau.
Observação: para t<0 a convolução dá y(t)=0 porque ambos sinais são causais.

Passo 4

Simplifico o integrando. Primeiro note que e^{-(t-\tau)}=e^{-t}e^{\tau}. Substituindo,
y(t)=\int_{0}^{t} \big[2 e^{-3\tau}-e^{-2\tau}\big] e^{-t} e^{\tau}\,d\tau.
Posso fatorar e^{-t} (constante em relação a \tau):
y(t)=e^{-t}\int_{0}^{t} \big[2 e^{-3\tau} e^{\tau} - e^{-2\tau} e^{\tau}\big]\,d\tau.
Agora combino as potências de e: e^{-3\tau}e^{\tau}=e^{-2\tau} e e^{-2\tau}e^{\tau}=e^{-\tau}. Então
y(t)=e^{-t}\int_{0}^{t} \big[2 e^{-2\tau} - e^{-\tau}\big]\,d\tau.

Passo 5

Calculo as integrais termo a termo.
Para o primeiro termo:
\int_{0}^{t} 2 e^{-2\tau}\,d\tau =2\left[\frac{e^{-2\tau}}{-2}\right]_{0}^{t} =2\left(-\tfrac{1}{2}e^{-2t} + \tfrac{1}{2}e^{0}\right) =1 - e^{-2t}.
Para o segundo termo:
\int_{0}^{t} e^{-\tau}\,d\tau =\left[-e^{-\tau}\right]_{0}^{t} =-e^{-t}+1 =1-e^{-t}.
Subtraindo os dois resultados (pois o integrando é 2 e^{-2\tau}-e^{-\tau}):
\int_{0}^{t} \big[2 e^{-2\tau} - e^{-\tau}\big]\,d\tau =(1 - e^{-2t}) - (1 - e^{-t}) = e^{-t} - e^{-2t}.

Passo 6

Volto à expressão de y(t) com o fator e^{-t} externo:
y(t)=e^{-t}\big(e^{-t} - e^{-2t}\big) = e^{-2t} - e^{-3t},
válido para t\ge 0. Como o sistema é causal, anexo o fator u(t) para indicar nulidade para t<0:
y(t)=\big[e^{-2t}-e^{-3t}\big]\,u(t).

Resposta

\big[e^{-2t}-e^{-3t}\big]\,u(t)

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