A resposta ao impulso unitário de um sistema LCIT é
h(t)=e^-t u(t)
Determine a resposta do sistema (estado nulo) y(t) se a entrada x(t) for
sen(2 t) u(t) (Recomendável usar identidades trigonométricas)

Passo 1

O enunciado dá um sistema LTI causal com resposta ao impulso
h(t)=e^-tu(t)
e pede a saída zero‐estado y(t) quando a entrada é
x(t)=sin(2t),u(t)
O conteúdo aqui é convolução em tempo contínuo de LTI, usando
y(t) = (h*x)(t) = integral-infty^infty h(t-tau),x(tau),dtau,
que, pela causalidade, vira integral de 0 a t.

Passo 2

Escrevemos a convolução restringida a tau>=0 e tau<= t:
y(t) = integral0^t e^-(t-tau),sen(2tau),dtau = e^-tintegral0^t e^tau,sen(2tau),dtau

Passo 3

Para avaliar
I(t)=integral0^t e^tausen(2tau),dtau,
usamos a fórmula padrão
integral e^atausen(btau),dtau =e^atau,l(asen(btau)-bcos(btau)r)a^2+b^2 (a=1,;b=2)

Passo 4

Aplicando a fórmula em 0 a t, obtemos
I(t) =e^tau,(1sen(2tau)-2cos(2tau))1^2+2^2|0^t =e^t(sen(2t)-2cos(2t)) - l(0-2cdot1r)5 =e^t(sen(2t)-2cos(2t))+25

Passo 5

Volta-se a y(t):
y(t) = e^-t,I(t) = e^-t,e^t(sen(2t)-2cos(2t))+25 =sen(2t)-2cos(2t)5+25e^-t
E como o sistema é causal, multiplicamos por u(t).

Resposta

y(t) =15l[sen(2t)-2cos(2t)+2e^-tr],u(t)

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