A resposta ao impulso unitário de um sistema LIT é dada por:
Encontre a resposta do sistema (resposta de estado zero)
se a entrada
for:
Passo 1
O enunciado dá a resposta ao impulso do sistema LIT e a entrada; pede a saída (resposta de estado zero). Informações fornecidas:
- A resposta ao impulso é
. - A entrada é
. - Precisamos encontrar a saída
para todo (ou seja, a função que o sistema produz quando a entrada é ).
Passo 2
Conceito essencial (aula rápida e prática): para um sistema linear e invariante no tempo, a saída é a convolução da entrada com a resposta ao impulso. A definição de convolução contínua é
Aqui
é o valor da entrada no instante
e
é a resposta ao impulso deslocada para se ajustar ao tempo
. A integral soma (convolui) todas as contribuições passadas.
Passo 3
Como tanto
Portanto, na integral de convolução só há contribuições quando
se
) e quando
(pois
se
). Essas duas condições juntas implicam
. Assim podemos escrever, para
,
Para
temos imediatamente
porque não há sobreposição causal.]
Passo 4
Substituímos
e
na integral (lembrando que os
já determinaram os limites):
Agora simplificamos o integrando: multiplicando as exponenciais,
Note que o integrando ficou independente de
: é apenas
.
Passo 5
Como o integrando é constante em
, a integral é direta:
válido para
. E como já dito, para
temos
. Junta-se isso usando o degrau unitário:
Passo 6
Comentário alternativo (útil na prova se preferir transformadas): usando transformada de Laplace,
. Como
, a transformada inversa é
, resultando na mesma resposta. Isso confirma o resultado obtido por convolução.