A resposta ao impulso unitário de um sistema LIT é dada por:
h(t)=e^{-t} u(t)
Encontre a resposta do sistema (resposta de estado zero) y(t) se a entrada x(t) for:
e^{-t} u(t)

Passo 1

O enunciado dá a resposta ao impulso do sistema LIT e a entrada; pede a saída (resposta de estado zero). Informações fornecidas:
  • A resposta ao impulso é h(t)=e^{-t}u(t).
  • A entrada é x(t)=e^{-t}u(t).
  • Precisamos encontrar a saída y(t) para todo t (ou seja, a função y(t) que o sistema produz quando a entrada é x(t)).

Passo 2

Conceito essencial (aula rápida e prática): para um sistema linear e invariante no tempo, a saída é a convolução da entrada com a resposta ao impulso. A definição de convolução contínua é
y(t) = (x*h)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau.
Aqui x(\tau) é o valor da entrada no instante \tau e h(t-\tau) é a resposta ao impulso deslocada para se ajustar ao tempo t. A integral soma (convolui) todas as contribuições passadas.

Passo 3

Como tanto x(t)\) quanto \(h(t)\) são multiplicadas pela função degrau unitário \(u(t)\), ambas são nulas para tempos negativos. Lembrete: a função degrau unitário \(u(t)\) é \[u(t)=\begin{cases} 1, & t\ge 0,\\[4pt] 0, & t<0. \end{cases}
Portanto, na integral de convolução só há contribuições quando \tau\ge 0\] (pois \(x(\tau)=0 se \tau<0) e quando t-\tau\ge 0 (pois h(t-\tau)=0 se t-\tau<0). Essas duas condições juntas implicam 0\le \tau \le t. Assim podemos escrever, para t\ge 0,
y(t)=\int_{0}^{t} x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau.
Para t<0 temos imediatamente y(t)=0 porque não há sobreposição causal.]

Passo 4

Substituímos x(\tau)=e^{-\tau} e h(t-\tau)=e^{-(t-\tau)} na integral (lembrando que os u(\cdot) já determinaram os limites):
y(t)=\int_{0}^{t} e^{-\tau}\,e^{-(t-\tau)}\,d\tau.
Agora simplificamos o integrando: multiplicando as exponenciais,
e^{-\tau}\,e^{-(t-\tau)} = e^{-\tau -t + \tau} = e^{-t}.
Note que o integrando ficou independente de \tau: é apenas e^{-t}.

Passo 5

Como o integrando é constante em \tau, a integral é direta:
y(t)=\int_{0}^{t} e^{-t}\,d\tau = e^{-t}\int_{0}^{t} 1\,d\tau = e^{-t}\cdot (t-0)=t\,e^{-t},
válido para t\ge 0. E como já dito, para t<0 temos y(t)=0. Junta-se isso usando o degrau unitário:
y(t)=t\,e^{-t}\,u(t).

Passo 6

Comentário alternativo (útil na prova se preferir transformadas): usando transformada de Laplace, \mathcal{L}\{e^{-t}u(t)\} = \tfrac{1}{s+1}. Como Y(s)=X(s)H(s)=\tfrac{1}{(s+1)^2}, a transformada inversa é \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s+1)^2}\} = t e^{-t}u(t), resultando na mesma resposta. Isso confirma o resultado obtido por convolução.

Resposta

y(t)=t\,e^{-t}\,u(t)

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