Um SLIT possui resposta em frequência dada por:
H(j omega)=4+j omega6+5 j omega+(j omega)^2
(b) Determine a resposta ao impulso h(t) desse sistema.

Passo 1

O enunciado pede para achar a resposta ao impulso de um sistema LTI cuja resposta em frequência é dada por
H(jomega)=4+jomega6+5jomega+(jomega)^2
Isso envolve usar a relação entre resposta em frequência e transformada de Laplace/Transformada Inversa de Fourier, além de decomposição em frações parciais.

Passo 2

Para facilitar a inversão, substituímos s=jomega e reescrevemos o denominador em fatores lineares:
H(s)=s+4s^2+5s+6
Como s^2+5s+6=(s+2)(s+3), temos
H(s)=s+4(s+2)(s+3).

Passo 3

Agora fazemos a decomposição em frações parciais:
s+4(s+2)(s+3)=As+2+Bs+3
Multiplicando ambos os lados por (s+2)(s+3) e igualando coeficientes ou avaliando em s=-2 e s=-3, obtemos:
- Para s=-2: A=(-2+4)=2
- Para s=-3: -B=(-3+4) B=-1
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H(s)=2s+2-1s+3.

Passo 4

Cada termo corresponde à transformada de Laplace de exponenciais multiplicadas por u(t):
  • 1s+a inverte para e^-atu(t).
    Aplicando isso, a resposta ao impulso é
h(t)=2e^-2tu(t)-e^-3tu(t).

Resposta

h(t)=2e{-2t}u(t)-e{-3t}u(t)

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