Um rifle é disparado até acertar o alvo. Suponha que a probabilidade de acertar o alvo é de 0,9 para cada tiro e que os tiros são independentes. Qual é a probabilidade de que o número de tiros necessários seja par?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: cada tiro acerta com probabilidade
, tiros independentes, e queremos a chance de que o número de tiros até o primeiro acerto seja par.
Conteúdo: distribuição geométrica e soma de série geométrica infinita.
O que vamos precisar:
Conteúdo: distribuição geométrica e soma de série geométrica infinita.
O que vamos precisar:
- Entender que o “número de tiros até o primeiro acerto” segue uma geométrica com
. - Somar todos os termos de índice par dessa distribuição usando a fórmula da soma de uma série infinita.
Passo 2
Primeiro, definimos
.
Para a geométrica, a probabilidade exata de a gente acertar no tiro é
Para a geométrica, a probabilidade exata de a gente acertar no tiro
Como queremos o número
par, somamos para
:
Passo 3
Reescrevendo
, temos
Agora usamos a soma de série geométrica infinita
para
, com
:
Logo
Passo 4
Basta substituir
e
:
Resposta
A probabilidade de o número de tiros necessários ser par é
.