Um rifle é disparado até acertar o alvo. Suponha que a probabilidade de acertar o alvo é de 0,9 para cada tiro e que os tiros são independentes. Qual é a probabilidade de que o número de tiros necessários seja par?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: cada tiro acerta com probabilidade , tiros independentes, e queremos a chance de que o número de tiros até o primeiro acerto seja par.
Conteúdo: distribuição geométrica e soma de série geométrica infinita.
O que vamos precisar:
  1. Entender que o “número de tiros até o primeiro acerto” segue uma geométrica com .
  2. Somar todos os termos de índice par dessa distribuição usando a fórmula da soma de uma série infinita.

Passo 2

Primeiro, definimos P(N=k) ;=; q^,k-1,p .
Para a geométrica, a probabilidade exata de a gente acertar no tiro P((N) é par) ;=;summ=1^inftyP(N=2m) =summ=1^inftyq^,2m-1,p é
Como queremos o número par, somamos para :
é

Passo 3

Reescrevendo P((N) é par) = p summ=1^infty q,(q^2)^m-1 = p,qsumm=0^infty (q^2)^m , temos
summ=0^infty (q^2)^m = 11-q^2 é
Agora usamos a soma de série geométrica infinita P((N) par) = p,q1-q^2 para , com :
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Passo 4

Basta substituir P((N) par) = 0,9 times 0,11 - (0,1)^2 = 0,091 - 0,01 = 0,090,99 = 999 = 111 e :

Resposta

A probabilidade de o número de tiros necessários ser par é .

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