Um restaurante universitário tem 6 opções de pratos quentes (arroz, feijão, lentilha, batatas ao molho sugo, carne assada e filé de frango à parmigiana) e 4 opções de salada (alface, cenoura, beterraba e tomate). De quantas maneiras distintas os estudantes podem montar sua refeição com 3 pratos quentes e 2 opções de salada?
Resposta:
1440
Passo 1
Vamos listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
- O restaurante oferece
opções de pratos quentes: arroz, feijão, lentilha, batatas ao molho sugo, carne assada e filé de frango à parmigiana. - O restaurante oferece
opções de salada: alface, cenoura, beterraba e tomate. - Cada estudante monta uma refeição com
pratos quentes e saladas.
A pergunta é: de quantas maneiras distintas um estudante pode montar a refeição escolhendopratos quentes e saladas?
Passo 2
Antes de calcular, é importante entender duas maneiras diferentes de contar escolhas, porque elas dão respostas diferentes:
- Quando a ordem das escolhas NÃO importa (por exemplo, só interessa quais 3 pratos estão no prato, não a ordem em que foram colocados), usamos combinações. A fórmula é
onde
é o total de itens disponíveis,
é quantos escolhemos, e
(fatorial de
) significa
- Quando a ordem das escolhas IMPORTA (por exemplo, se a posição dos pratos no prato, ou a sequência em que são escolhidos, for relevante), usamos permutações sem repetição. A fórmula é
que também pode ser vista como multiplicar os
primeiros fatores decrescentes:
.
Vou mostrar os dois casos (sem ordem e com ordem) para ficar bem claro. No final explico qual interpretação leva ao resultado indicado
.
Passo 3
Caso A — se a ordem NÃO importa (combinações):
- Número de maneiras de escolher
pratos quentes dentre :
Calculemos passo a passo:
logo
- Número de maneiras de escolher
saladas dentre :
- Como as escolhas de pratos quentes e de salada são independentes, multiplicamos:
Portanto, se a ordem realmente não importasse, o total seria
.
Passo 4
Caso B — se a ordem IMPORTA (permutações):
Aqui interpretamos que, dentro do conjunto dos pratos quentes, importa a ordem (por exemplo: primeiro prato quente, segundo prato quente, terceiro prato quente), e o mesmo para as
saladas.
Aqui interpretamos que, dentro do conjunto dos
- Número de maneiras de escolher e ordenar
pratos quentes dentre :
Calculemos de forma mais direta:
. Então
- Número de maneiras de escolher e ordenar
saladas dentre :
- Multiplicando as escolhas independentes:
Passo 5
Interpretação e conclusão final: o enunciado pode ser lido de duas maneiras (ordem importa ou não). A resposta
corresponde à interpretação em que a ordem IMPORTA dentro dos grupos (ou seja, considera-se a sequência/posição dos
pratos quentes e das
saladas). Se o problema for entendido assim, o resultado correto é
. Se, em vez disso, apenas importarem quais itens estão presentes (sem ordem), o resultado seria
. Como foi fornecido o número
, adotamos a interpretação em que a ordem importa e então o total é
.
Força aí — você já sabe como decidir entre combinação e permutação: pergunte-se sempre se a ordem importa. Se tiver mais questões parecidas eu te ajudo a montar um checklist rápido para a prova!