Uma indústria produtora de sucos está testando duas marcas de aromatizantes de laranja (Laranmel e Orange) para fabricação de suco de laranja. Assim um teste de comparação pareada foi aplicado para verificar se havia diferença entre os aromatizantes (ao nivel de 1 \% de significância) e, se houvesse, qual aromatizante fornecia maior intensidade de aroma natural de laranja. Uma equipe de 30 provadores selecionados realizaram o teste e 25 provadores indicaram a amostra Laranmel como sendo aquela com maior intensidade de aroma natural de laranja. Analise os resultados e apresente a conclusão. (OBS.: informe a tabela utilizada e o valor tabelado).

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que foi dado.
  • O que o enunciado pede:
    1. Testar, ao nível de significância de 1\%, se existe diferença entre os dois aromatizantes (Laranmel e Orange).
    2. Caso exista diferença, indicar qual aromatizante fornece maior intensidade de aroma natural de laranja.
  • Informações fornecidas:
    • Número de provadores: n=30.
    • Número de provadores que indicaram Laranmel como de maior intensidade: X_{\text{obs}}=25.
    • Nível de significância: \alpha=0,01.

Passo 2

Formular as hipóteses e escolher o teste.
  • Como cada provador compara as duas amostras (pareado) e a resposta é “prefere Laranmel” ou “não prefere Laranmel (prefere Orange ou empate)”, um teste adequado é o teste de sinais (equivalente ao teste exato binomial para este caso), que conta o número X de provadores que preferem Laranmel.
  • Hipóteses:
    H_0:\; p=\tfrac{1}{2}\quad\text{(não há diferença; cada aroma tem probabilidade }1/2\text{ de ser escolhido)}ãáç
H_1:\; p\neq\tfrac{1}{2}\quad\text{(há diferença entre os aromatizantes)}áç
onde p é a probabilidade de um provador preferir Laranmel.

Passo 3

Modelo probabilístico e fórmula usada.
  • Sob H_0, o número de “sucessos” X (provadores que preferem Laranmel) segue a distribuição binomial X \sim \mathrm{Bin}\bigl(n=30,\;p=\tfrac{1}{2}\bigr).
  • A probabilidade de exatamente k sucessos é \Pr(X=k)=\binom{30}{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{30},onde \binom{30}{k} é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher k entre 30).

Passo 4

Decisão do teste: região crítica e valor tabelado.
  • Como o teste é bilateral com nível \alpha=0,01, cada cauda tem \alpha/2=0,005. Procuramos o menor valor inteiro k tal que
    \Pr(X\ge k)\le 0,005
    (a região crítica superior será X\ge k; por simetria a inferior será X\le 30-k).
  • Usando a tabela da distribuição binomial (ou calculando somas de coeficientes binomiais), avalia-se:
    • Para k=22 temos \Pr(X\ge 22)=\frac{8656937}{2^{30}}\approx 0,00806>0,005.
    • Para k=23 temos \Pr(X\ge 23)=\frac{2804012}{2^{30}}\approx 0,002613\le 0,005.
    Portanto o menor k que atende a condição é k=23. Logo a região crítica bilateral com \alpha=0,01 é
    \{X\le 7\}\\ \cup\\ \{X\ge 23\}.
  • Tabela utilizada e valor tabelado:
    • Tabela: distribuição binomial com n=30 e p=0,5.
    • Valor tabelado (uma cauda, \alpha/2=0,005): \Pr(X\ge 23)=0,002613 (portanto k_{\text{crítico}}=23í).

Passo 5

Cálculo do valor-p exato e comparação com \alpha.
  • Observamos X_{\text{obs}}=25, que está na região crítica superior ( 25\ge 23); portanto já é motivo para rejeitar H_0. Mas vamos calcular o valor-p exato (bilateral) para quantificar.
  • Calculamos a probabilidade da cauda superior a partir de somas dos coeficientes binomiais:
    \Pr(X\ge 25)=\sum_{x=25}^{30}\binom{30}{x}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{30} =\frac{142506+27405+4060+435+30+1}{2^{30}} =\frac{174437}{2^{30}}.
    Assim a probabilidade de observar 25 ou mais sucessos sob H_0 é
    \Pr(X\ge 25)\approx 0,0001624.
  • Para o teste bilateral (duas caudas) o valor-p é (pela simetria) o dobro dessa cauda:
    \text{valor-}p = 2\Pr(X\ge 25)=\frac{348874}{2^{30}}\approx 0,000325.
  • Comparando com \alpha=0,01: 0,000325<0,01. Portanto rejeitamos H_0.

Passo 6

Interpretação final e conclusão (com incentivo).
  • Rejeitando H_0 ao nível de 1\%, há evidência estatística forte de que existe diferença entre os aromatizantes. Como a contagem de preferências favoreceu Laranmel ( 25 de 30), conclui-se que Laranmel fornece maior intensidade de aroma natural de laranja, com significância estatística ao nível de 1\%.
  • Parabéns: mesmo com poucos dados (só 30 provadores) o efeito foi grande o suficiente para dar uma conclusão bem robusta — isso é bom para a indústria que quer detectar diferenças claras.

Resposta

Rejeita-se H_0 ao nível de 1\%. Há evidência de diferença e o aromatizante Laranmel apresenta maior intensidade de aroma natural de laranja.

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