Uma indústria produtora de sucos está testando duas marcas de aromatizantes de laranja (Laranmel e Orange) para fabricação de suco de laranja. Assim um teste de comparação pareada foi aplicado para verificar se havia diferença entre os aromatizantes (ao nivel de
de significância) e, se houvesse, qual aromatizante fornecia maior intensidade de aroma natural de laranja. Uma equipe de 30 provadores selecionados realizaram o teste e 25 provadores indicaram a amostra Laranmel como sendo aquela com maior intensidade de aroma natural de laranja. Analise os resultados e apresente a conclusão. (OBS.: informe a tabela utilizada e o valor tabelado).
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que foi dado.
-
O que o enunciado pede:
- Testar, ao nível de significância de
, se existe diferença entre os dois aromatizantes (Laranmel e Orange). - Caso exista diferença, indicar qual aromatizante fornece maior intensidade de aroma natural de laranja.
- Testar, ao nível de significância de
-
Informações fornecidas:
- Número de provadores:
. - Número de provadores que indicaram Laranmel como de maior intensidade:
. - Nível de significância:
.
- Número de provadores:
Passo 2
Formular as hipóteses e escolher o teste.
-
Como cada provador compara as duas amostras (pareado) e a resposta é “prefere Laranmel” ou “não prefere Laranmel (prefere Orange ou empate)”, um teste adequado é o teste de sinais (equivalente ao teste exato binomial para este caso), que conta o número
de provadores que preferem Laranmel. -
Hipóteses:
onde
é a probabilidade de um provador preferir Laranmel.
Passo 3
Modelo probabilístico e fórmula usada.
- Sob
, o número de “sucessos” (provadores que preferem Laranmel) segue a distribuição binomial - A probabilidade de exatamente
sucessos é onde é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher entre 30).
Passo 4
Decisão do teste: região crítica e valor tabelado.
-
Como o teste é bilateral com nível
, cada cauda tem . Procuramos o menor valor inteiro tal que (a região crítica superior será; por simetria a inferior será ). -
Usando a tabela da distribuição binomial (ou calculando somas de coeficientes binomiais), avalia-se:
- Para
temos - Para
temos
Portanto o menorque atende a condição é . Logo a região crítica bilateral com é - Para
-
Tabela utilizada e valor tabelado:
- Tabela: distribuição binomial com
e . - Valor tabelado (uma cauda,
): (portanto ).
- Tabela: distribuição binomial com
Passo 5
Cálculo do valor-p exato e comparação com
.
-
Observamos
, que está na região crítica superior ( ); portanto já é motivo para rejeitar . Mas vamos calcular o valor-p exato (bilateral) para quantificar. -
Calculamos a probabilidade da cauda superior a partir de somas dos coeficientes binomiais:Assim a probabilidade de observar 25 ou mais sucessos sob
é -
Para o teste bilateral (duas caudas) o valor-p é (pela simetria) o dobro dessa cauda:
-
Comparando com
: . Portanto rejeitamos .
Passo 6
Interpretação final e conclusão (com incentivo).
-
Rejeitando
ao nível de , há evidência estatística forte de que existe diferença entre os aromatizantes. Como a contagem de preferências favoreceu Laranmel ( de ), conclui-se que Laranmel fornece maior intensidade de aroma natural de laranja, com significância estatística ao nível de . -
Parabéns: mesmo com poucos dados (só
provadores) o efeito foi grande o suficiente para dar uma conclusão bem robusta — isso é bom para a indústria que quer detectar diferenças claras.
Resposta
Rejeita-se
ao nível de
. Há evidência de diferença e o aromatizante Laranmel apresenta maior intensidade de aroma natural de laranja.