Quinze provadores selecionados realizaram esse teste. Uma ANOVA foi realizada com os resultados obtidos e está mostrada abaixo. Complete a ANOVA.
Fontes da variação G.L. SQ SQM Fcalculado Ftabelado
Amostra 20
Provador 70 5
Resíduo
Total 192

Passo 1

O enunciado dá uma ANOVA de um teste com quinze provadores e a tabela parcial abaixo (peguei os números diretamente do enunciado):
  • Número de provadores: 15.
  • Soma dos quadrados da fonte “Amostra”: \,20.
  • Soma dos quadrados da fonte “Provador”: \,70.
  • Soma dos quadrados total: \,192.
  • Na linha “Provador” foi dado também o SQM (mean square): \,5.
O que a pergunta pede: completar a ANOVA — isto é, preencher os graus de liberdade (G.L.), as somas de quadrados (SQ) que faltam, os quadrados médios (SQM), o F calculado e o F tabelado (presumo o nível de significância usual \alpha=0,05), para cada fonte: Amostra, Provador, Resíduo e Total.

Passo 2

Rápida explicação do modelo (para entender as fórmulas que vamos usar).
  • Trata‑se de um delineamento em blocos completos (cada provador prova todas as amostras). As fontes são:
    • Amostra (efeito que interessa testar).
    • Provador (efeito bloco).
    • Resíduo (erro).
  • Fórmulas básicas usadas:
    • Grau de liberdade da amostra: \text{G.L.}_{A} = t-1, onde t é o número de amostras.
    • Grau de liberdade do provador: \text{G.L.}_{P} = b-1, onde b é o número de provadores.
    • Grau de liberdade do resíduo: \text{G.L.}_{E} = (b-1)(t-1).
    • Soma de quadrados residual: \text{SQ}_E = \text{SQ}_{T} - \text{SQ}_A - \text{SQ}_P.
    • Quadrado médio: \text{SQM} = \dfrac{\text{SQ}}{\text{G.L.}}.
    • Estatística F para testar uma fonte: F = \dfrac{\text{SQM}_{\text{fonte}}}{\text{SQM}_{E}}.
  • Observação prática importante: conhecendo \text{SQ}_P e \text{SQM}_P podemos achar \text{G.L.}_P por \text{G.L.}_P = \dfrac{\text{SQ}_P}{\text{SQM}_P}.

Passo 3

Calcular o grau de liberdade do provador (usando \text{SQ}_P e \text{SQM}_P dados).
  • Aplicando \text{G.L.}_P = \dfrac{\text{SQ}_P}{\text{SQM}_P}: \text{G.L.}_P = \dfrac{70}{5} = 14.
  • Isso bate com a informação de que há 15 provadores ( b-1=14). Então b=15 confirmado.

Passo 4

Calcular a soma de quadrados do resíduo (erro), que sai da decomposição da soma total.
  • Usar \text{SQ}_E = \text{SQ}_T - \text{SQ}_A - \text{SQ}_P: \text{SQ}_E = 192 - 20 - 70 = 102.

Passo 5

Determinar os graus de liberdade das demais fontes.
  • Precisamos do número de amostras t para achar \text{G.L.}_A e \text{G.L.}_E. Note um fato útil: qualquer t\ge2 compatível com o delineamento fará com que o F calculado para “Amostra” seja o mesmo (isto decorre de cancelamentos; mostrarei depois). Em problemas de prova com 15 provadores, o caso mais comum é t=3 amostras. Vou adotar t=3 (isso dá um exemplo típico e permite preencher a tabela numérica completa).
  • Com t=3:
    • \text{G.L.}_A = t-1 = 2.
    • \text{G.L.}_P = 14 (já calculado).
    • \text{G.L.}_E = (b-1)(t-1) = 14\cdot2 = 28.
    • \text{G.L.}_{Total} = bt - 1 = 15\cdot3 - 1 = 45 - 1 = 44.
Pequena nota didática: se t fosse outro número inteiro, o F para “Amostra” calculado mais adiante não mudaria (porque o fator (t-1) se cancela). No entanto, para preencher o quadro com os SQM numéricos e os G.L. precisamos de um valor para t; escolhi 3 por ser o caso mais comum em testes sensoriais.

Passo 6

Calcular os quadrados médios (SQM) para cada fonte.
  • Para Amostra: \text{SQM}_A = \dfrac{\text{SQ}_A}{\text{G.L.}_A} = \dfrac{20}{2} = 10.
  • Para Provador: já dado \text{SQM}_P = 5 (confirme: \dfrac{70}{14}=5).
  • Para Resíduo: \text{SQM}_E = \dfrac{\text{SQ}_E}{\text{G.L.}_E} = \dfrac{102}{28} \approx 3{,}642857\ldots \approx 3{,}643.

Passo 7

Calcular os F calculados.
  • Para Amostra: F_A = \dfrac{\text{SQM}_A}{\text{SQM}_E} = \dfrac{10}{3{,}642857\ldots} \approx 2{,}745098\ldots \approx 2{,}745.
  • Para Provador: F_P = \dfrac{\text{SQM}_P}{\text{SQM}_E} = \dfrac{5}{3{,}642857\ldots} \approx 1{,}372549\ldots \approx 1{,}373.
Observação (novamente útil): como prometi, note que se não fixássemos t a priori, o fator (t-1) cancela no quociente que dá F_A; portanto o valor numérico de F_A calculado acima não depende de t. Assim esse F_A é único dado os números de SS fornecidos.

Passo 8

Obter os F tabelados (nível de significância \alpha=0{,}05) e tirar a conclusão.
  • Para Amostra (graus de liberdade \,df_1=\text{G.L.}_A=2 e \,df_2=\text{G.L.}_E=28):
    • Valor crítico aproximado: F_{2,28;0{,}05}\approx 3{,}34.
    • Comparação: F_A \approx 2{,}745 < 3{,}34 → não há evidência suficiente para rejeitar H_0; ou seja, diferenças entre amostras não são significativas a 5\%.
  • Para Provador (graus de liberdade \,df_1=14 e \,df_2=28):
    • Valor crítico aproximado: F_{14,28;0{,}05}\approx 1{,}88.
    • Comparação: F_P \approx 1{,}373 < 1{,}88 → efeito dos provadores também não é significativo a 5\%.

Passo 9

Resumo numérico (arredondamentos a três casas decimais onde aplicável) e montagem final da tabela ANOVA preenchida.

Resposta

Amostra: G.L. =2, SQ =20, SQM =10, Fcalculado =2{,}745, Ftabelado =3{,}34
Provador: G.L. =14, SQ =70, SQM =5, Fcalculado =1{,}373, Ftabelado =1{,}88
Resíduo: G.L. =28, SQ =102, SQM \approx3{,}643, Fcalculado -, Ftabelado -
Total: G.L. =44, SQ =192, SQM -, Fcalculado -, Ftabelado -

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