Qual o resto da divisão de 2^11^98765 por 31 ?

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de 2^11^98765 por 31. Como 31 é primo, podemos usar o Teorema de Euler para simplificar a potência: basta reduzir o expoente módulo phi(31)=30.

Passo 2

Pelo Teorema de Euler, se gcd(a,p)=1 com p primo, então
a^p-1equiv1pmodp
Aqui a=2 e p=31, logo
2^30equiv1pmod31
Isso implica
2^11^98765equiv2^,11^98765bmod30pmod31

Passo 3

Agora precisamos calcular
11^98765bmod30
Observamos que gcd(11,30)=1 e phi(30)=8, de modo que
11^8equiv1pmod30
Portanto basta reduzir 98765 módulo 8.

Passo 4

Dividindo 98765 por 8 temos
98765=8times12345+5,
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98765equiv5pmod8 Longrightarrow 11^98765equiv11^5pmod30

Passo 5

Para achar 11^5bmod30, note que
11^2=121equiv1pmod30,
então
11^5=(11^2)^2cdot11equiv1^2cdot11equiv11pmod30
Assim o expoente efetivo na base 2 é 11.

Passo 6

Por fim, calculamos
2^11=2048=31cdot66+2,
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2^11equiv2pmod31

Resposta

O resto da divisão de 2^11^98765 por 31 é 2.

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