Calcule as seguintes integrais:
integral-4^0 integral-raiz16-x^2^raiz16-x^2 3 x d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
Temos que computar
I = integralx=-4^0 integraly=-raiz16-x^2^raiz16-x^2 3x ,dy,dx
O conteúdo envolvido é cálculo de integrais duplas via integração iterada. Vamos precisar: 1) integrar em y primeiro, 2) obter uma integral em x, e 3) resolvê-la usando substituição.

Passo 2

Primeiro, fixando x, integramos em y:
integraly=-raiz16-x^2^raiz16-x^2 3x ,dy = 3x l[yr]y=-raiz16-x^2^raiz16-x^2 = 3xl(2raiz16-x^2r) = 6xraiz16-x^2

Passo 3

Assim a integral original vira uma integral em x só:
I = integralx=-4^0 6xraiz16-x^2,dx
Para resolver essa integral, usamos a substituição
u = 16 - x^2, du = -2x,dx implies x,dx = -12du

Passo 4

Com a substituição:
  • Quando x = -4, u = 16 - (-4)^2 = 0
  • Quando x = 0, u = 16 - 0^2 = 16
Substituindo em I:
I = integralx=-4^0 6xraiz16-x^2,dx = 6 integralu=0^16 raizu;l(-tfrac12dur) = -3integral0^16 u^1/2,du

Passo 5

Agora calculamos a integral em u:
-3integral0^16 u^1/2,du = -3 cdot u^3/23/2 llvert0^16 = -2l[u^3/2r]0^16 = -2l(16^3/2 - 0r) = -2cdot 64 = -128
Portanto, o valor da integral é

Passo 6

final_answer

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