Resuelve la siguiente EDO usando el método de Frobenius:
x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-116) y=0

Passo 1

Tenemos la ecuación diferencial
x^2y''+x,y'+l(x^2-tfrac116r)y=0
en x=0 hay un punto singular regular. Vamos a aplicar el método de Frobenius, que consiste en buscar una solución de la forma
y=sumn=0^inftyanx^n+r, a0neq0,
determinando primero el exponente r (ecuación indicial) y luego la relación de recurrencia para los coeficientes an.

Passo 2

Calculamos las derivadas formales:
y'=sumn=0^inftyan(n+r),x^n+r-1, y''=sumn=0^inftyan(n+r)(n+r-1),x^n+r-2
Sustituimos en la EDO original:
x^2y''+x,y'+(x^2-tfrac116)y =sumn=0^inftyan(n+r)(n+r-1)x^n+r +sumn=0^inftyan(n+r)x^n+r +sumn=0^inftyanx^n+r+2 -tfrac116sumn=0^inftyanx^n+r=0
Agrupamos las dos primeras sumas:
sumn=0^inftyanl[(n+r)(n+r-1)+(n+r)-tfrac116r]x^n+r +sumn=0^inftyanx^n+r+2=0

Passo 3

Reindexamos la segunda suma con m=n+2 y la combinamos con la primera para igualar coeficientes de x^n+r. El término más bajo ( n=0) da la ecuación indicial:
a0l[r(r-1)+r-tfrac116r]=0 ;Longrightarrow; r^2-tfrac116=0 ;Longrightarrow; r=pmtfrac14

Passo 4

Para n>=2 la condición de coeficiente de x^n+r es
anl[(n+r)^2-tfrac116r]+an-2=0 ;Longrightarrow; an=-an-2(n+r)^2-tfrac116
Obsérvese que los términos impares quedan cero si a1=0, de modo que la serie solo contiene potencias pares de x.
Tomando r1=+tfrac14 y a0=1 obtenemos
y1(x)=x^tfrac14l[1-x^2(2+tfrac14)^2-tfrac116 +x^4l((4+tfrac14)^2-tfrac116r)l((2+tfrac14)^2-tfrac116r)-cdotsr],
y para r2=-tfrac14, de forma análoga,
y2(x)=x^-tfrac14l[1+cdotsr]

Passo 5

Las series halladas coinciden (salvo constantes de normalización) con las definiciones de las funciones de Bessel de orden pmtfrac14. Por lo tanto, la solución general queda
y(x)=C1Jtfrac14(x)+C2J-tfrac14(x),
donde Jnu(x) es la función de Bessel de primera especie de orden nu.

Resposta

y(x)=C1Jtfrac14(x)+C2J-tfrac14(x)

Exercícios relacionados