Resuelve la siguiente EDO usando el método de Frobenius:
Passo 1
Tenemos la ecuación diferencial
en
hay un punto singular regular. Vamos a aplicar el método de Frobenius, que consiste en buscar una solución de la forma
determinando primero el exponente
(ecuación indicial) y luego la relación de recurrencia para los coeficientes
.
Passo 2
Calculamos las derivadas formales:
Sustituimos en la EDO original:
Agrupamos las dos primeras sumas:
Passo 3
Reindexamos la segunda suma con
y la combinamos con la primera para igualar coeficientes de
. El término más bajo (
) da la ecuación indicial:
Passo 4
Para
la condición de coeficiente de
es
Obsérvese que los términos impares quedan cero si
, de modo que la serie solo contiene potencias pares de
.
Tomando
y
obtenemos
y para
, de forma análoga,
Passo 5
Las series halladas coinciden (salvo constantes de normalización) con las definiciones de las funciones de Bessel de orden
. Por lo tanto, la solución general queda
donde
es la función de Bessel de primera especie de orden
.