Resuelve:
3 x^2 y^prime prime+2 x y^prime+2 x^2 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes variáveis
3x^2y''+2x,y'+2x^2y=0
e pede a solução geral. O conteúdo necessário é a redução a uma equação de Bessel, via transformação do termo y' para obter coeficiente 1/x.

Passo 2

Dividimos toda a equação por 3x^2 (supondo xneq0) para obter a forma padrão
y''+23xy'+23y=0

Passo 3

Fazemos a mudança de função
y(x)=x^kz(x),
de modo que o coeficiente de z' na nova equação fique igual a 1/x. Calculamos
y'=x^kz'+k,x^k-1z, y''=x^kz''+2k,x^k-1z'+k(k-1)x^k-2z
Substituindo em
y''+23xy'+23y=0
e dividindo por x^k obtemos
z''+l(2k+tfrac23r)1xz' +l(k(k-1)+tfrac2k3r)1x^2z+23z=0
Para que o coeficiente de z' seja 1/x, impomos
2k+tfrac23=1 Longrightarrow k=16

Passo 4

Com k=1/6, o termo em z fica
l(k(k-1)+tfrac2k3r)1x^2+23 =l(tfrac136-tfrac118r)1x^2+23 =-1361x^2+23
Logo, a equação para z é
z''+1xz'+l(23-136,x^2r)z=0,
que é a forma canônica da equação de Bessel
z''+1xz'+l(kappa^2-nu^2x^2r)z=0
com
kappa^2=23, nu^2=136 Longrightarrow nu=16, kappa=raiztfrac23

Passo 5

A solução geral da equação de Bessel de ordem nu=1/6 é
z(x)=C1J1/6l(raiztfrac23,xr) +C2Y1/6l(raiztfrac23,xr)
Voltando à variável original y(x)=x^1/6z(x), temos a solução geral

Resposta

y(x)=x^1/6l[ C1,J1/6!l(raiztfrac23,xr) + C2,Y1/6!l(raiztfrac23,xr) r],
onde C1 e C2 s~ao constantes arbitr’arias.

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