O resultado de uma consulta independente de preços do kg do arroz em 2 grandes cidades brasileiras apresentou os resultados da tabela a seguir:
n barX S
cidade 1 25 5,3 0,03
cidade 2 28 4,9 0,15
Determine o intervalo de confiança para diferença entre os preços, com 95% de confiança.

Passo 1

Beleza, vamos por partes. A questão nos dá duas amostras independentes de preço do quilo do arroz em duas cidades:
  • Cidade 1: n₁=25, média \bar X₁=5,3, desvio padrão S₁=0,03
  • Cidade 2: n₂=28, média \bar X₂=4,9, desvio padrão S₂=0,15
O que queremos: o intervalo de confiança de 95% para a diferença de preços entre as cidades (μ₁–μ₂).
Conteúdo: estatística inferencial, intervalo de confiança para diferença de médias com variâncias desconhecidas (fórmula de Welch), uso da distribuição t de Student.

Passo 2

Primeiro a teoria: quando temos duas amostras independentes e não sabemos as variâncias popu­la­cionais, o intervalo de confiança para μ₁–μ₂ é
(bar X1 - bar X2) pm talpha/2,nu ,raizS1^2n1 + S2^2n2
onde
  • nu ;=;l(tfracS1^2n1+tfracS2^2n2r)^2 tfrac(S1^2/n1)^2n1-1 ;+;tfrac(S2^2/n2)^2n2-1 é o valor crítico da t de Student para nível de confiança (aqui 95%, então ),
  • são os graus de liberdade aproximados pela fórmula de Welch:

Passo 3

Calcular o erro padrão combinado (SE):
SE = raizS1^2n1 + S2^2n2 = raiz0,03^225 + 0,15^228 = raiz0,000925 + 0,022528 = raiz0,000036 + 0,0008036 = raiz0,0008396 approx 0,02898

Passo 4

Calcular os graus de liberdade nu = (0,0008396)^2tfrac(0,000036)^224 + tfrac(0,0008036)^227 approx 7,05times10^-75,40times10^-11 + 2,39times10^-8 approx 29,4 pela fórmula de Welch:
Arredondamos .

Passo 5

A 95% de confiança, precisamos de .
Consultando tabela de t, .

Passo 6

Valor da diferença amostral:
bar X1 - bar X2 = 5,3 - 4,9 = 0,4
Margem de erro =

Passo 7

Intervalo de confiança:
0,4 pm 0,0593 ;Longrightarrow; l[,0,4 - 0,0593,;0,4 + 0,0593,r] ;=; [,0,3407,;0,4593,]

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a diferença de preços (cidade 1 menos cidade 2) é aproximadamente
[,0,341,;0,459,]

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