Os seguintes números são as notas de 12 estudantes de um curso de matematica:
6,5 ; 6,0 ; 7,0 ; 6,0 ; 7,5 ; 3,5 ; 8,0 ; 4,5 ; 7,0 ; 3,5 ; 4,0 ; 6,5
Supondo que a população de notas está normalmente distribuída, construa um intervalo de confiança de 95% para a variância sigma^2 e desvio padrão sigma.

Passo 1

Beleza! A gente tem as notas de 12 alunos e a hipótese de normalidade. O que queremos é construir um intervalo de confiança de 95% para a variância e para o desvio padrão .
Conteúdo: distribuição qui-quadrado e intervalo de confiança para variância de população normal.
O que vamos precisar:
  1. Calcular a média amostral .
  2. Calcular a variância amostral .
  3. Usar a fórmula do intervalo de confiança para baseada na qui-quadrado.
  4. Tirar raiz pra achar o intervalo de confiança de .

Passo 2

Primeiro, vamos achar a média amostral. Se a soma das 12 notas é
sumi=1^12 xi = 70,
então
bar x = 7012 approx 5,8333

Passo 3

Agora calculamos a soma dos quadrados das diferenças em relação à média:
sumi=1^12(xi-bar x)^2 approx 27,1667
A daí vem a variância amostral (com s^2 = 1n-1sumi=1^n(xi-bar x)^2 = 27,166711 approx 2,4697 graus de liberdade):
s = raizs^2 approx raiz2,4697 approx 1,5716
E o desvio padrão amostral é

Passo 4

Para construir o intervalo de confiança de 95% para gl(, (n-1),s^2chi^21-alpha/2,,n-1,,, (n-1),s^2chi^2alpha/2,,n-1 gr), , usamos:
chi^20,975,,11 approx 3,816 e chi^20,025,,11 approx 21,920
com Limite inferior = 11cdot2,469721,920 approx 1,239, , Limite superior = 11cdot2,46973,816 approx 7,119 , logo .
Buscando na tabela qui-quadrado:
Logo:

Passo 5

Pra ter o intervalo de confiança de raiz1,239 approx 1,113, raiz7,119 approx 2,668 , basta tirar raiz em cada limite:

Resposta

Intervalo de confiança de 95% para a variância l(1,24;;7,12r) :
l(1,11;;2,67r)
Intervalo de confiança de 95% para o desvio padrão :

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