Mostre que o maior valor para \psi 1(x) é:
\begin{aligned} & \qquad\left|\psi_{1}(x)\right|^{2}=A^{*} A\left(1+\frac{2}{3} \cos \left(2 k_{1} x\right)+\frac{1}{9}\right)=\text { função oscilatória } \\\ & \text { E que em } x=0 \rightarrow\left|\psi_{1}(0)\right|^{2}=\frac{16}{9} A^{*} A \end{aligned}çãó

Passo 1

O enunciado envolve a função de onda, que é uma superposição de onda incidente e refletida com amplitudes A e A/3. Especificamente, temos
\psi_{1}(x)=A\,e^{i k_{1}x}+\frac{A}{3}\,e^{-i k_{1}x}\,.
O objetivo é calcular \left|\psi_{1}(x)\right|^{2}, mostrar que
\left|\psi_{1}(x)\right|^{2}=A^{*}A\Bigl(1+\tfrac{2}{3}\cos(2k_{1}x)+\tfrac{1}{9}\Bigr)
e, em seguida, encontrar seu valor máximo, em particular em x=0.

Passo 2

Primeiro escrevemos o conjugado complexo
\psi_{1}^{*}(x)=A^{*}\,e^{-i k_{1}x}+\frac{A^{*}}{3}\,e^{i k_{1}x}
e então multiplicamos
\left|\psi_{1}(x)\right|^{2}=\psi_{1}^{*}(x)\,\psi_{1}(x) =A^{*}A\,e^{-i k_{1}x}e^{i k_{1}x} +\frac{A^{*}A}{3}\,e^{-i k_{1}x}e^{-i k_{1}x} +\frac{A^{*}A}{3}\,e^{i k_{1}x}e^{i k_{1}x} +\frac{A^{*}A}{9}\,e^{i k_{1}x}e^{-i k_{1}x}\,.

Passo 3

Simplificamos os expoentes iguais:
e^{-i k_{1}x}e^{i k_{1}x}=1,\quad e^{\pm i k_{1}x}e^{\pm i k_{1}x}=e^{\pm 2i k_{1}x}\,.
Assim
\left|\psi_{1}(x)\right|^{2} =A^{*}A\Bigl(1+\tfrac{1}{3}e^{2i k_{1}x}+\tfrac{1}{3}e^{-2i k_{1}x}+\tfrac{1}{9}\Bigr)\,.

Passo 4

Usando a identidade
e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos\theta
com \theta=2k_{1}x, obtemos
\tfrac{1}{3}e^{2i k_{1}x}+\tfrac{1}{3}e^{-2i k_{1}x} =\tfrac{2}{3}\cos(2k_{1}x).
Logo
\left|\psi_{1}(x)\right|^{2} =A^{*}A\Bigl(1+\tfrac{2}{3}\cos(2k_{1}x)+\tfrac{1}{9}\Bigr),
que é claramente uma função oscilatória.

Passo 5

O máximo de \left|\psi_{1}(x)\right|^{2} ocorre quando \cos(2k_{1}x)=1, isto é 2k_{1}x=2\pi n. Em particular, para x=0 temos
\left|\psi_{1}(0)\right|^{2} =A^{*}A\Bigl(1+\tfrac{2}{3}\cdot1+\tfrac{1}{9}\Bigr) =A^{*}A\Bigl(\tfrac{9}{9}+\tfrac{6}{9}+\tfrac{1}{9}\Bigr) =\tfrac{16}{9}\,A^{*}A.

Resposta

\left|\psi_{1}(x)\right|^{2} =A^{*}A\Bigl(1+\tfrac{2}{3}\cos(2k_{1}x)+\tfrac{1}{9}\Bigr) \quad\text{e}\quad \left|\psi_{1}(0)\right|^{2}=\tfrac{16}{9}A^{*}A.

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