Um resultado muito importante das equações de Maxwell é a obtenção da equação da onda eletromagnética com velocidade de propagação dada por
c=\sqrt{\frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0}}},
onde \varepsilon_{0} \simeq 9 \times 10^{-12} \mathrm{~F} / \mathrm{m} e \mu_{0} \simeq 1 \times 10^{-6} \mathrm{H} / \mathrm{m}.
a) Calcule por análise dimensional a unidade de c.
Dado: farad e henry têm as seguintes unidades fundamentais do sistema internacional:
F=s^{4} A^{2} k^{-1} m^{-2} \text { e } H=k g m^{2} s^{-2} A^{-2} \text {. }
b) Verifique que c \simeq 3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}, que é a velocidade da luz no vácuo.

Passo 1

O enunciado nos dá a velocidade de propagação de uma onda eletromagnética no vácuo
c = \sqrt{\frac{1}{\mu_{0}\,\varepsilon_{0}}},
onde \varepsilon_{0}\simeq 9\times10^{-12}\,\mathrm{F/m} e \mu_{0}\simeq1\times10^{-6}\,\mathrm{H/m}.
Pede-se em (a) a unidade de c por análise dimensional e em (b) verificar numericamente que c\simeq3\times10^{8}\,\mathrm{m/s}.

Passo 2

Para achar a unidade de c, escrevemos as dimensões de \mu_{0} e \varepsilon_{0} usando
F = s^{4}A^{2}kg^{-1}m^{-2}, \qquad H = kg\,m^{2}s^{-2}A^{-2}.
Então
\varepsilon_{0}:\quad \frac{F}{m} = \frac{s^{4}A^{2}kg^{-1}m^{-2}}{m} = s^{4}A^{2}kg^{-1}m^{-3},
\mu_{0}:\quad \frac{H}{m} = \frac{kg\,m^{2}s^{-2}A^{-2}}{m} = kg\,m\,s^{-2}A^{-2}.
O produto fica
\mu_{0}\,\varepsilon_{0} = (kg\,m\,s^{-2}A^{-2})\,(s^{4}A^{2}kg^{-1}m^{-3}) = s^{2}m^{-2}.
Logo
\frac{1}{\mu_{0}\,\varepsilon_{0}} \sim m^{2}s^{-2}
e
c = \sqrt{\frac{1}{\mu_{0}\,\varepsilon_{0}}} \quad\Longrightarrow\quad [c] = \frac{m}{s}.

Passo 3

Numericamente,
\mu_{0}\,\varepsilon_{0} \simeq (1\times10^{-6})(9\times10^{-12}) = 9\times10^{-18},
c = \sqrt{\frac{1}{9\times10^{-18}}} = \sqrt{1{,}11\times10^{17}}\simeq 3{,}3\times10^{8}\,\mathrm{m/s}.
Aproximando, obtemos
c \simeq 3\times10^{8}\,\mathrm{m/s},
que coincide com a velocidade da luz no vácuo.

Resposta

(a) A unidade de c é \mathrm{m/s}.
(b) Numericamente c\simeq3\times10^{8}\,\mathrm{m/s}.

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