Exercício 7. Escreva integrais que calculem a área da superfície obtida ao rotacionar a curva dada pelo eixo x e pelo eixo y.
y=arctg x, 0 <= x <= 2.

Passo 1

O enunciado dá a curva y=arctan x para 0<= x<=2 e pede a área da superfície gerada ao girar essa curva em torno do eixo x e em torno do eixo y. O conteúdo aqui é área de superfície de revolução, para o qual usaremos as fórmulas padrão envolvendo y'=dy/dx.

Passo 2

A fórmula para a área de superfície obtida ao girar y=f(x) de x=a até x=b em torno do eixo x é
Sx = 2pi integrala^b y ,raiz1+(y')^2,dx,
e, em torno do eixo y, é
Sy = 2pi integrala^b x ,raiz1+(y')^2,dx

Passo 3

Primeiro calculamos a derivada de y=arctan x:
y' = ddx(arctan x) = 11+x^2
Logo
1+(y')^2 = 1 + 1(1+x^2)^2 = (1+x^2)^2 + 1(1+x^2)^2 = x^4 +2x^2 +2(1+x^2)^2,
e
raiz1+(y')^2 = raizx^4 +2x^2 +21+x^2

Passo 4

Substituindo em Sx com a=0 e b=2, obtemos
Sx = 2pi integral0^2 (arctan x),raizx^4 +2x^2 +21+x^2,dx

Passo 5

Análogo para Sy:
Sy = 2pi integral0^2 x,raizx^4 +2x^2 +21+x^2,dx

Resposta

Sx = 2pi integral0^2 (arctan x),raizx^4 +2x^2 +21+x^2,dx,
Sy = 2pi integral0^2 x,raizx^4 +2x^2 +21+x^2,dx

Exercícios relacionados