Qual o resultado obtido a integração ∫1 a 2 ∫y2 a y3 dx dy?
a) 19/4
b) 17/12
c) 19/6
d) 19/12

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla integral1^2 integraly^2^y^3 dx, dy. Isso envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é integraly^2^y^3 dx. Integrar em relação a x é simples: a integral de dx é x. Então, substituímos os limites:
integraly^2^y^3 dx = x g|y^2^y^3 = y^3 - y^2

Passo 3

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa. Ficamos com:
integral1^2 (y^3 - y^2) dy
Vamos integrar isso em relação a y. A integral de y^3 é y^44 e a de y^2 é y^33. Então:
integral1^2 (y^3 - y^2) dy = (y^44 - y^33) g|1^2

Passo 4

Agora, avaliamos nos limites de y = 2 e y = 1:
Para y = 2:
2^44 - 2^33 = 164 - 83 = 4 - 83 = 123 - 83 = 43
Para y = 1:
1^44 - 1^33 = 14 - 13 = 312 - 412 = -112
Subtraindo:
43 - (-112) = 43 + 112 = 1612 + 112 = 1712

Resposta

A integral vale 1712. Alternativa b) 17/12.

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