As funçöes trigonométricas são de extrema importância, e graças a elas, são possíveis as resoluções de algumas integrais. A resolução da integral ∫ sen 3 ( x ) cos 2 ( x ) d x é: cos 3 ( x ) 3 − cos ( x ) C cos 4 ( x ) 4 − cos 2 ( x ) 2 C cos 5 ( x ) 4 − cos 2 ( x ) 2 C. − cos 5 ( x ) 5 cos 3 ( x ) 3 C. Cos 5 ( x ) 5 − cos 3 ( x ) 3 C.

Passo 1

Vamos resolver a integral integral sin^3(x) cos^2(x) ,dx. Esse exercício envolve funções trigonométricas e integrais, especificamente usando identidades trigonométricas e técnicas de integração. Vamos precisar aplicar a substituição trigonométrica para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, observamos que a integral tem potências ímpares de seno e potências pares de cosseno. Quando temos potências ímpares de uma função trigonométrica, podemos separar um fator para usar a identidade trigonométrica.
Vamos escrever sin^3(x) = sin^2(x) cdot sin(x). Sabemos que sin^2(x) = 1 - cos^2(x) pela identidade trigonométrica sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Então, substituímos:
integral sin^3(x) cos^2(x) ,dx = integral (1 - cos^2(x)) sin(x) cos^2(x) ,dx

Passo 3

Agora, fazemos a substituição u = cos(x). Assim, du = -sin(x) ,dx, o que implica que -du = sin(x) ,dx. Substituindo na integral:
integral (1 - u^2) u^2 (-du) = -integral (1 - u^2) u^2 ,du = -integral (u^2 - u^4) ,du

Passo 4

Vamos integrar termo a termo:
-integral u^2 ,du + integral u^4 ,du = -( u^33 ) + ( u^55 ) + C
Substituindo u = cos(x):
-cos^3(x)3 + cos^5(x)5 + C

Resposta

A resposta correta é:
cos^5(x)5 - cos^3(x)3 + C

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