Os resultados da densidade da água em várias temperaturas são apresentados na tabela a seguir.
T( ^circ C) 0 5 10 15 20 25 30 35 40
rho(g / cm^3) 0,9999 0,9998 0,9997 0,9991 0,9982 0,9971 0,9957 0,9941 0,9902
Utilizando a interpolação para polinômios de 2^circ e de 3^circ graus, (método de sua preferência), calcule a densidade da água para as temperaturas de 13^circ C e 17^circ C. Construa um gráfico apresentando os respectivos dados da tabela comparando-se com os polinômios encontrados, compare e discuta os resultados.

Passo 1

Resumo do problema: temos uma tabela com densidade da água em função da temperatura e precisamos estimar ρ(13 °C) e ρ(17 °C) por interpolação polinomial de 2º grau e de 3º grau. Vamos usar a fórmula de Lagrange para construir esses polinômios e depois montar um gráfico comparando os pontos originais com as curvas interpoladas.

Passo 2

Interpolação de 2º grau em torno de 10, 15 e 20 °C. Seja (x₀,y₀)=(10,0,9997), (x₁,y₁)=(15,0,9991) e (x₂,y₂)=(20,0,9982). O polinômio de Lagrange é
p2(x)=sumi=0^2 yiprodjneq ix-xjxi-xj
Calculamos os coeficientes de base em x=13 e x=17: para x=13 temos L₀=0,28, L₁=0,84, L₂=−0,12, então
p2(13)=0,9997cdot0,28+0,9991cdot0,84+0,9982cdot(-0,12)=0,999376
Para x=17 temos L₀=−0,12, L₁=0,84, L₂=0,28, então
p2(17)=0,9997·(-0,12)+0,9991·0,84+0,9982·0,28=0,998776

Passo 3

Interpolação de 3º grau usando quatro pontos. Para estimar ρ(13 °C) escolhemos (5,0,9998), (10,0,9997), (15,0,9991), (20,0,9982); para ρ(17 °C) usamos (10,0,9997), (15,0,9991), (20,0,9982), (25,0,9971). O polinômio é
p3(x)=sumi=0^3 yiprodjneq ix-xjxi-xj
Para x=13 obtemos p₃(13)=0,999387 e para x=17 p₃(17)=0,998770.

Passo 4

Construção do gráfico: no eixo x plotar T de 0 a 40 °C, no y plotar ρ. Incluir os pontos originais da tabela e as curvas p₂(x) (reta sólida) e p₃(x) (reta tracejada), cada uma na região válida de interpolação. Adicionar legenda e marcadores para facilitar a comparação.

Passo 5

Discussão dos resultados: os valores de p₂ e p₃ são quase idênticos (diferença da ordem 10⁻⁵), mostrando que um polinômio de grau 2 já satisfaz nessa faixa de temperatura. O polinômio de grau 3 não traz ganho significativo de precisão e, em geral, graus mais altos podem causar oscilações indesejadas fora do intervalo de interpolação.

Resposta

Para 13 °C: ρ₂=0,999376 g/cm³ e ρ₃=0,999387 g/cm³. Para 17 °C: ρ₂=0,998776 g/cm³ e ρ₃=0,998770 g/cm³.

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