Os resultados da densidade da água em várias temperaturas são apresentados na tabela a seguir.
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0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
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0,9999 | 0,9998 | 0,9997 | 0,9991 | 0,9982 | 0,9971 | 0,9957 | 0,9941 | 0,9902 |
Utilizando a interpolação para polinômios de
e de
graus, (método de sua preferência), calcule a densidade da água para as temperaturas de
e
. Construa um gráfico apresentando os respectivos dados da tabela comparando-se com os polinômios encontrados, compare e discuta os resultados.
Passo 1
Resumo do problema: temos uma tabela com densidade da água em função da temperatura e precisamos estimar ρ(13 °C) e ρ(17 °C) por interpolação polinomial de 2º grau e de 3º grau. Vamos usar a fórmula de Lagrange para construir esses polinômios e depois montar um gráfico comparando os pontos originais com as curvas interpoladas.
Passo 2
Interpolação de 2º grau em torno de 10, 15 e 20 °C. Seja (x₀,y₀)=(10,0,9997), (x₁,y₁)=(15,0,9991) e (x₂,y₂)=(20,0,9982). O polinômio de Lagrange é
Calculamos os coeficientes de base em x=13 e x=17: para x=13 temos L₀=0,28, L₁=0,84, L₂=−0,12, então
Para x=17 temos L₀=−0,12, L₁=0,84, L₂=0,28, então
Passo 3
Interpolação de 3º grau usando quatro pontos. Para estimar ρ(13 °C) escolhemos (5,0,9998), (10,0,9997), (15,0,9991), (20,0,9982); para ρ(17 °C) usamos (10,0,9997), (15,0,9991), (20,0,9982), (25,0,9971). O polinômio é
Para x=13 obtemos p₃(13)=0,999387 e para x=17 p₃(17)=0,998770.
Passo 4
Construção do gráfico: no eixo x plotar T de 0 a 40 °C, no y plotar ρ. Incluir os pontos originais da tabela e as curvas p₂(x) (reta sólida) e p₃(x) (reta tracejada), cada uma na região válida de interpolação. Adicionar legenda e marcadores para facilitar a comparação.
Passo 5
Discussão dos resultados: os valores de p₂ e p₃ são quase idênticos (diferença da ordem 10⁻⁵), mostrando que um polinômio de grau 2 já satisfaz nessa faixa de temperatura. O polinômio de grau 3 não traz ganho significativo de precisão e, em geral, graus mais altos podem causar oscilações indesejadas fora do intervalo de interpolação.
Resposta
Para 13 °C: ρ₂=0,999376 g/cm³ e ρ₃=0,999387 g/cm³. Para 17 °C: ρ₂=0,998776 g/cm³ e ρ₃=0,998770 g/cm³.