Com os resultados listados acima, estabeleça se a sequência ( a_{n} ) abaixo converge ou diverge, dizendo qual critério usou. Quando for possível calcule o limite da sequência.
a_{n}=(1+3 n)^{1 / n}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da sequência
a_n = (1+3n)^{1/n}
e, quando convergir, calcular o seu limite. O conteúdo é limites de sequência e usaremos a transformação logarítmica para facilitar a análise.

Passo 2

Aplicamos o logaritmo natural em a_n:
\ln(a_n) = \frac{1}{n}\,\ln(1+3n).
Para estudar \ln(a_n) quando n\to\infty, note que
\ln(1+3n) = \ln n + \ln 3 + \ln\!\bigl(1+\tfrac{1}{3n}\bigr).
Logo,
\ln(a_n) = \frac{\ln n}{n} + \frac{\ln 3}{n} + \frac{\ln\bigl(1+\tfrac{1}{3n}\bigr)}{n}.
Sabendo que \ln n/n\to0, \ln3/n\to0 e \ln(1+1/(3n))/n\to0, concluímos que
\lim_{n\to\infty}\ln(a_n) = 0.

Passo 3

Pela continuidade da função exponencial, tem‐se
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}e^{\ln(a_n)} = e^0 = 1.
Portanto, a sequência converge.

Resposta

A sequência (a_n) converge e
\lim_{n\to\infty}a_n = 1.

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