Quais das sequências \left(a_{n}\right) abaixo convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
a_{n}=\left((-1)^{n}+1\right) \frac{n+1}{n}

Passo 1

O enunciado fornece a sequência (a_n) definida por
a_n = \bigl((-1)^n + 1\bigr)\frac{n+1}{n}.
O conteúdo é estudo de limites de sequência e teste de convergência. Vamos analisar o comportamento de a_n quando n\to\infty separando os casos par e ímpar.

Passo 2

Observe que (-1)^n + 1 vale 2 quando n é par e 0 quando n é ímpar.
Se n é par, então
a_n = 2\,\frac{n+1}{n}.
Se n é ímpar, então
a_n = 0.

Passo 3

Para a subsequência de índices pares n=2k,
a_{2k} = 2\,\frac{2k+1}{2k} = 2\Bigl(1+\frac{1}{2k}\Bigr).
Como \lim_{k\to\infty}\bigl(1+\tfrac{1}{2k}\bigr)=1, segue
\lim_{k\to\infty}a_{2k} = 2.
Para a subsequência de índices ímpares n=2k+1, temos a_{2k+1}=0 para todo k, logo
\lim_{k\to\infty}a_{2k+1} = 0.

Passo 4

As duas subsequências (pares e ímpares) têm limites diferentes 2 e 0. Portanto, (a_n) não converge para um único valor.

Resposta

A sequência diverge. Fato: os termos com n par tendem a 2 e os termos com n ímpar valem 0.

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