Quais das sequências
abaixo convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
Passo 1
O enunciado fornece a sequência
definida por
O conteúdo é estudo de limites de sequência e teste de convergência. Vamos analisar o comportamento de
quando
separando os casos par e ímpar.
Passo 2
Observe que
vale
quando
é par e
quando
é ímpar.
Se é par, então
Se
Se
é ímpar, então
Passo 3
Para a subsequência de índices pares
,
Como
, segue
Para a subsequência de índices ímpares
, temos
para todo
, logo
Passo 4
As duas subsequências (pares e ímpares) têm limites diferentes
e
. Portanto,
não converge para um único valor.
Resposta
A sequência diverge. Fato: os termos com
par tendem a
e os termos com
ímpar valem
.