Para as sequências abaixo, calcule os 7 primeiros termos, deduza qual a expressão geral de a_{n} e então confirme seu palpite usando o Método da Indução Finita. OBS: Os resultados obtidos serão utilizados na resolução de equações diferenciais. Em particular no Exercício (29) da Lista 3.
Seja a sequência \left(a_{n}\right) tal que a_{0}=1 e n a_{n}=a_{n-1} para n \geq 1.

Passo 1

O enunciado define a sequência \bigl(a_{n}\bigr) por
a_{0}=1, \quad n\,a_{n}=a_{n-1}\quad(n\ge1).
O objetivo é calcular os sete primeiros termos, observar um padrão e, em seguida, provar por indução que a expressão geral é realmente aquela que encontramos. Para isso vamos usar o conceito de fatorial e o método de indução finita.

Passo 2

Vamos calcular sequencialmente:
a_{1}=\frac{a_{0}}{1}=\frac{1}{1}=1,
a_{2}=\frac{a_{1}}{2}=\frac{1}{2},
a_{3}=\frac{a_{2}}{3}=\frac{1}{2\cdot3}=\frac{1}{6},
a_{4}=\frac{a_{3}}{4}=\frac{1}{6\cdot4}=\frac{1}{24},
a_{5}=\frac{a_{4}}{5}=\frac{1}{24\cdot5}=\frac{1}{120},
a_{6}=\frac{a_{5}}{6}=\frac{1}{120\cdot6}=\frac{1}{720}.
Portanto os sete primeiros termos são
a_{0}=1,\; a_{1}=1,\; a_{2}=\tfrac12,\; a_{3}=\tfrac1{6},\; a_{4}=\tfrac1{24},\; a_{5}=\tfrac1{120},\; a_{6}=\tfrac1{720}.

Passo 3

Observando que
1=1!,\; 2!=2,\; 3!=6,\; 4!=24,\; 5!=120,\; 6!=720,
vemos que
a_{n}=\frac{1}{n!}.
Esse é o nosso palpite para a expressão geral.

Passo 4

Agora confirmamos por indução finita:
(1) Caso base n=0. Temos a_{0}=1 e \tfrac1{0!}=1, logo vale para n=0.
(2) Passo indutivo. Suponha que para um k\ge0 valha
a_{k}=\frac{1}{k!}.
Como a definição diz (k+1)\,a_{k+1}=a_{k}, obtemos
a_{k+1}=\frac{a_{k}}{k+1} =\frac{1/k!}{k+1} =\frac{1}{(k+1)!}.
Assim a_{k+1}=1/(k+1)!. Isso fecha o passo indutivo.
Pelo princípio da indução finita, \displaystyle a_{n}=1/n! para todo n\ge0.

Resposta

a_{n}=\frac{1}{n!}.

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