Para as sequências abaixo, calcule os 7 primeiros termos, deduza qual a expressão geral de
e então confirme seu palpite usando o Método da Indução Finita. OBS: Os resultados obtidos serão utilizados na resolução de equações diferenciais. Em particular no Exercício (29) da Lista 3.
Seja a sequência
tal que
e
para
.
Seja a sequência
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
O objetivo é calcular os sete primeiros termos, observar um padrão e, em seguida, provar por indução que a expressão geral é realmente aquela que encontramos. Para isso vamos usar o conceito de fatorial e o método de indução finita.
Passo 2
Vamos calcular sequencialmente:
Portanto os sete primeiros termos são
Passo 3
Observando que
vemos que
Esse é o nosso palpite para a expressão geral.
Passo 4
Agora confirmamos por indução finita:
(1) Caso base
. Temos
e
, logo vale para
.
(2) Passo indutivo. Suponha que para um
valha
Como a definição diz
, obtemos
Assim
. Isso fecha o passo indutivo.
Pelo princípio da indução finita,
para todo
.