Verificar se cada uma das equações é separável, homogênea ou exata.
\left(x^{2}+y\right) d x-x d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\bigl(x^{2}+y\bigr)\,dx - x\,dy = 0
e pede para verificar se é separável, homogênea ou exata. Vamos escrever no formato
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com M(x,y)=x^{2}+y e N(x,y)=-x.

Passo 2

Testando exatidão: a equação é exata se
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Aqui
\frac{\partial M}{\partial y} = 1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = -1.
Como 1 \neq -1, não é exata.

Passo 3

Testando homogeneidade: precisamos que M e N sejam funções homogêneas do mesmo grau, isto é,
M(tx,ty)=t^{k}M(x,y), \quad N(tx,ty)=t^{k}N(x,y)
para algum k.
  • M(x,y)=x^{2}+y não é homogênea (tem termo de grau 2 e de grau 1).
  • N(x,y)=-x é homogênea de grau 1.
    Como os graus não coincidem, a equação não é homogênea.

Passo 4

Testando separabilidade: escrevemos
\frac{dy}{dx} =\frac{M(x,y)}{-N(x,y)} =\frac{x^{2}+y}{x} = x + \frac{y}{x}.
Para ser separável, precisaríamos de uma forma \tfrac{dy}{dx}=f(x)\,g(y). Aqui há soma de termos em x e y, logo não é separável.

Resposta

A equação diferencial não é separável, não é homogênea e não é exata.

Exercícios relacionados