Use o Teorema de Gauss para determinar o valor da integral de superfície integral duplaS F cdot n d S, onde:
  1. F(x, y, z)=(e^y+x) i+(cos z-2 y) j+(z+1) k ; 2) a superfície S está orientada positivamente; 3) S=S1 cup S2, onde S1 é o disco x^2+y^2 <= 1 situado no plano z=1 e S2 é a parte do cilindro x^2+y^2=1 que se encontra entre os planos z=0 e z=1.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo integral duplaSvec Fcdotvec n,dS para S=S1cup S2 (disco em z=1 e cilindro lateral até z=0), orientada positivamente. O conteúdo é o Teorema de Gauss, mas S não é fechada (falta a base em z=0), então vamos completar o fecho com um disco S3 em z=0 e considerar o volume V inteiro.

Passo 2

O Teorema de Gauss para a superfície fechada Stot=S1cup S2cup S3 diz:
integral duplaStotvec Fcdotvec n,dS=integral triplaVnablacdotvec F,dV
Calcular a divergência de vec F(x,y,z)=(e^y+x),vec i+(cos z-2y),vec j+(z+1),vec k:
nablacdotvec F=partialpartial x(e^y+x)+partialpartial y(cos z-2y)+partialpartial z(z+1)=1-2+1=0
Como nablacdotvec F=0, temos integral triplaVnablacdotvec F,dV=0, logo
integral duplaS1+S2vec Fcdotvec n,dS+integral duplaS3vec Fcdotvec n,dS=0

Passo 3

No disco S3 em z=0 o normal externo é -vec k, então vec Fcdotvec n=-(z+1)|z=0=-1. Assim
integral duplaS3vec Fcdotvec n,dS=integral dupladisco unitário-1,dS=-piá
Da relação anterior vem
integral duplaS1+S2vec Fcdotvec n,dS=-(-pi)=pi"]))print(default_api.SolutionSteps(solution_steps=[

Resposta

pi

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