A reta diretriz de uma parábola é a reta y=5 e seu vértice está na origem. Determine a equação da parábola e as coordenadas de seu foco.

Passo 1

O enunciado pede a parábola cujo vértice é (0,0) e cuja reta diretriz é y=5. O conteúdo aqui é a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um foco e de uma diretriz.

Passo 2

A distância do vértice à diretriz y=5 é \bigl|0-5\bigr|=5. Como a diretriz está acima do vértice, o foco fica simetricamente abaixo, ou seja, a profundidade p vale -5. Logo, o foco é
(0,p) = (0,-5).

Passo 3

Pela definição de parábola, um ponto (x,y) satisfaz
\sqrt{(x-0)^2 + (y-(-5))^2} \;=\; \bigl|y-5\bigr|.
Quadrando dos lados:
x^2 + (y+5)^2 = (y-5)^2
x^2 + y^2 +10y +25 = y^2 -10y +25
x^2 +20y = 0
que em forma explícita dá
y = -\frac{x^2}{20}.

Resposta

A equação da parábola é
y = -\frac{x^2}{20}
e o foco fica em (0,-5).

Exercícios relacionados