Os focos de uma hipérbole são F_{1}(-10,0) e F_{2}(10,0) e o comprimento do seu eixo conjugado (imaginário) é 12. Encontre a equação da hipérbole e as equações de suas assíntotas.

Passo 1

O enunciado dá os focos em (-10,0) e (10,0) e o comprimento do eixo conjugado igual a 12. Isso é uma hipérbole com centro na origem, eixo transverso horizontal. Vamos usar a forma padrão
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
sujeita à relação
c^2 = a^2 + b^2,
onde 2b é o eixo conjugado e 2c a distância entre focos.

Passo 2

Do enunciado temos
c = 10
pois os focos estão a 10 unidades à direita e à esquerda do centro, e
2b = 12 \quad\Longrightarrow\quad b = 6.

Passo 3

Usando a relação c^2 = a^2 + b^2, calculamos a^2:
a^2 = c^2 - b^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64.
Logo a = 8.

Passo 4

Substituindo a^2=64 e b^2=36 na forma padrão, a equação da hipérbole é
\frac{x^2}{64} \;-\;\frac{y^2}{36} = 1.

Passo 5

As assíntotas de uma hipérbole centrada na origem com eixo transverso em x são
y = \pm \frac{b}{a}\,x
ou seja
y = \pm \frac{6}{8}\,x = \pm \frac{3}{4}\,x.

Resposta

Equação da hipérbole:
\frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{36} = 1
Assíntotas:
y = \frac{3}{4}\,x
y = -\frac{3}{4}\,x

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