Encontre a equação da hipérbole centrada na origem, com eixo real sobre o eixo x , que passa pelo ponto P(5,3) e tem excentricidade \varepsilon=2.

Passo 1

O enunciado pede a hipérbole centrada na origem com eixo real sobre o eixo x, ou seja, na forma padrão
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,
sabendo que ela passa por P(5,3) e tem excentricidade \varepsilon=2. Para resolver, vamos usar as definições de excentricidade e a relação entre a, b e c.

Passo 2

Para uma hipérbole com eixo real em x, definimos c pelo foco (\pm c,0), e a excentricidade é
\varepsilon=\frac{c}{a}=2 \quad\Longrightarrow\quad c=2a.

Passo 3

Também vale a relação
c^2 = a^2 + b^2.
Substituindo c=2a obtemos
(2a)^2 = a^2 + b^2 \quad\Longrightarrow\quad 4a^2 = a^2 + b^2 \quad\Longrightarrow\quad b^2 = 3a^2.

Passo 4

Assim a equação fica
\frac{x^2}{a^2} \;-\;\frac{y^2}{3a^2}=1.
Como a hipérbole passa por P(5,3), substituímos x=5 e y=3:

Passo 5

\frac{5^2}{a^2}-\frac{3^2}{3a^2}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{25}{a^2}-\frac{9}{3a^2}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{25}{a^2}-\frac{3}{a^2}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{22}{a^2}=1
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a^2 = 22.

Passo 6

Com a^2=22 vem
b^2 = 3a^2 = 66.
Portanto a equação buscada é

Resposta

\frac{x^2}{22} \;-\; \frac{y^2}{66} = 1.

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