A reta
intercepta a curva
num ponto
e a curva
num ponto
. Para que valor(ou valores) de
, as tangentes a essas curvas em
e
são paralelas?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas curvas:
E uma reta vertical
que corta ambas as curvas nos pontos
e
, respectivamente. Queremos descobrir para qual valor de
as tangentes dessas curvas nesses pontos são paralelas. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente sobre derivadas e suas interpretações geométricas como inclinação das tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas dos pontos
e
. Como a reta é
, substituímos
por
nas equações das curvas para achar o
.
Para a primeira curva:
Então,
Para a segunda curva:
Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas das funções para determinar a inclinação das tangentes em
e
.
Para a primeira curva
, a derivada em relação a
é:
Para a segunda curva
, a derivada é:
Passo 4
As tangentes serão paralelas se as inclinações forem iguais, ou seja:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
.
Primeiro, trazemos todos os termos para um lado:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Podemos fatorar:
Portanto, as soluções são:
Resposta
Os valores de
que tornam as tangentes às curvas em
e
paralelas são
e
.