A reta x=a intercepta a curva y=13 x^3+4 x+3 num ponto P e a curva y=2 x^2+x num ponto Q. Para que valor(ou valores) de a, as tangentes a essas curvas em P e Q são paralelas?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas curvas:
E uma reta vertical que corta ambas as curvas nos pontos e , respectivamente. Queremos descobrir para qual valor de as tangentes dessas curvas nesses pontos são paralelas. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente sobre derivadas e suas interpretações geométricas como inclinação das tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas dos pontos yP = 13a^3 + 4a + 3 e yQ = 2a^2 + a . Como a reta é , substituímos por nas equações das curvas para achar o .
Para a primeira curva:
Então,
Para a segunda curva:
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas das funções para determinar a inclinação das tangentes em y'P = ddx( 13x^3 + 4x + 3 ) = x^2 + 4 e y'Q = ddx( 2x^2 + x ) = 4x + 1 .
Para a primeira curva , a derivada em relação a é:
Para a segunda curva , a derivada é:

Passo 4

As tangentes serão paralelas se as inclinações forem iguais, ou seja:
y'P = y'Q
Substituindo as derivadas que encontramos:
a^2 + 4 = 4a + 1

Passo 5

Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de a^2 + 4 - 4a - 1 = 0 .
Primeiro, trazemos todos os termos para um lado:
a^2 - 4a + 3 = 0

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática:
a^2 - 4a + 3 = 0
Podemos fatorar:
(a - 1)(a - 3) = 0
Portanto, as soluções são:
a = 1 ou a = 3

Resposta

Os valores de que tornam as tangentes às curvas em e paralelas são e .

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