A reta
r: \left\{\begin{array}{l}x=1+2 t \\\ y=t \\\ z=3-t\end{array}\right.
forma um ângulo de 60^{\circ} com a reta determinada pelos pontos A(3,1,-2) e B(4,0, m). Calcular o valor de m .
Passo 1
O enunciado dá a reta r\) pela forma paramétrica
\[r:\begin{cases}x=1+2t\\[4pt]y=t\\[4pt]z=3-t\end{cases}
e os pontos A(3,1,-2)\] e \(B(4,0,m). Pergunta-se: calcular o valor de m tal que a reta r forma um ângulo de 60^\circ com a reta determinada por A e B. \n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A reta r tem parâmetro t e, a partir das coordenadas, podemos extrair seu vetor diretor.
A reta que passa por A e B tem vetor diretor dado por \overrightarrow{AB}=B-A, que depende de m.
O ângulo entre as duas retas é \;60^\circ.]
Passo 2
Encontrar o vetor diretor da reta r.
Quando uma reta é dada por x=x_0 + a t,\; y=y_0 + b t,\; z=z_0 + c t, o vetor diretor é (a,b,c).\n
Aplicando isso à reta r obtemos o vetor diretor
\mathbf{u}=(2,\,1,\,-1).
Explicando: 2 é o coeficiente de t em x, 1 é o coeficiente de t em y, e -1 é o coeficiente de t em z.
Passo 3
Encontrar o vetor diretor da reta que passa por A e B.
O vetor \overrightarrow{AB} é a diferença B-A. Calculamos componente a componente:
Observação didática: usamos o valor absoluto no numerador porque o ângulo entre duas retas é tomado entre 0 e 90^\circ, então usamos o valor absoluto do produto escalar para obter o cosseno positivo correspondente ao ângulo menor.
Passo 5
Calcular o produto escalar \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}.
Com \mathbf{u}=(2,1,-1) e \mathbf{v}=(1,-1,m+2):
Resolver a equação quadrática resultante.
A equação é
m^2+8m+16=0.
Reconhecemos que isso é um quadrado perfeito:
m^2+8m+16=(m+4)^2.
Portanto
(m+4)^2=0 \quad\Rightarrow\quad m=-4.
Passo 11
Verificação rápida (importante para garantir que não perdemos sinais ao elevar ao quadrado).
Com m=-4 temos \mathbf{v}=(1,-1,-2). O produto escalar ficou