A reta
r: \left\{\begin{array}{l}x=1+2 t \\\ y=t \\\ z=3-t\end{array}\right.
forma um ângulo de 60^{\circ} com a reta determinada pelos pontos A(3,1,-2) e B(4,0, m). Calcular o valor de m .

Passo 1

O enunciado dá a reta r\) pela forma paramétrica \[r:\begin{cases}x=1+2t\\[4pt]y=t\\[4pt]z=3-t\end{cases}
e os pontos A(3,1,-2)\] e \(B(4,0,m). Pergunta-se: calcular o valor de m tal que a reta r forma um ângulo de 60^\circ com a reta determinada por A e B. \n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A reta r tem parâmetro t e, a partir das coordenadas, podemos extrair seu vetor diretor.
  • A reta que passa por A e B tem vetor diretor dado por \overrightarrow{AB}=B-A, que depende de m.
  • O ângulo entre as duas retas é \;60^\circ.]

Passo 2

Encontrar o vetor diretor da reta r.
Quando uma reta é dada por x=x_0 + a t,\; y=y_0 + b t,\; z=z_0 + c t, o vetor diretor é (a,b,c).\n
Aplicando isso à reta r obtemos o vetor diretor
\mathbf{u}=(2,\,1,\,-1).
Explicando: 2 é o coeficiente de t em x, 1 é o coeficiente de t em y, e -1 é o coeficiente de t em z.

Passo 3

Encontrar o vetor diretor da reta que passa por A e B.
O vetor \overrightarrow{AB} é a diferença B-A. Calculamos componente a componente:
\overrightarrow{AB}=(4-3,\;0-1,\;m-(-2))=(1,\,-1,\;m+2).
Chamaremos esse vetor de \mathbf{v}=(1,\,-1,\;m+2).

Passo 4

Recordando a fórmula que relaciona produto escalar, normas e o cosseno do ângulo entre vetores.
Para vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em \mathbb{R}^3,
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3,
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2},
e o cosseno do ângulo \theta entre eles é
\cos\theta=\frac{|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}.
Observação didática: usamos o valor absoluto no numerador porque o ângulo entre duas retas é tomado entre 0 e 90^\circ, então usamos o valor absoluto do produto escalar para obter o cosseno positivo correspondente ao ângulo menor.

Passo 5

Calcular o produto escalar \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}.
Com \mathbf{u}=(2,1,-1) e \mathbf{v}=(1,-1,m+2):
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=2\cdot1 + 1\cdot(-1) + (-1)\cdot(m+2).
Fazendo as contas passo a passo:
2\cdot1 = 2,\qquad 1\cdot(-1) = -1,\qquad (-1)\cdot(m+2) = -m-2.
Somando:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=2-1-(m+2)= -m-1.

Passo 6

Calcular as normas \|\mathbf{u}\| e \|\mathbf{v}\|.
Para \mathbf{u}=(2,1,-1):
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}.
Para \mathbf{v}=(1,-1,m+2):
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{1^2+(-1)^2+(m+2)^2}=\sqrt{1+1+(m+2)^2}=\sqrt{2+(m+2)^2}.

Passo 7

Aplicar a condição do ângulo \theta=60^\circ.
Sabemos que \cos 60^\circ=\tfrac{1}{2}. Pela fórmula do cosseno temos:
\frac{|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}=\frac{1}{2}.
Substituindo os valores que encontramos:
\frac{| -m-1 |}{\sqrt{6}\,\sqrt{2+(m+2)^2}}=\frac{1}{2}.

Passo 8

Resolver a equação obtida.
Multiplicando ambos os lados por 2\sqrt{6}\sqrt{2+(m+2)^2}:
2| -m-1 | = \sqrt{6}\,\sqrt{2+(m+2)^2}.
Elevar ao quadrado para eliminar a raiz e o valor absoluto (isso introduz possibilidades extrárias que verificaremos depois):
4(m+1)^2 = 6\bigl(2+(m+2)^2\bigr).
Dividindo ambos os lados por 2 para simplificar:
2(m+1)^2 = 3\bigl(2+(m+2)^2\bigr).

Passo 9

Continuar a resolução algébrica com expansão e organização.
Expandindo o lado esquerdo:
2(m+1)^2 = 2(m^2+2m+1) = 2m^2+4m+2.
Expandindo o lado direito:
3\bigl(2+(m+2)^2\bigr) = 3\bigl(2 + m^2+4m+4\bigr) = 3(m^2+4m+6) = 3m^2+12m+18.
Igualando e trazendo tudo para um lado:
2m^2+4m+2 = 3m^2+12m+18
0 = 3m^2+12m+18 - (2m^2+4m+2) = m^2+8m+16.

Passo 10

Resolver a equação quadrática resultante.
A equação é
m^2+8m+16=0.
Reconhecemos que isso é um quadrado perfeito:
m^2+8m+16=(m+4)^2.
Portanto
(m+4)^2=0 \quad\Rightarrow\quad m=-4.

Passo 11

Verificação rápida (importante para garantir que não perdemos sinais ao elevar ao quadrado).
Com m=-4 temos \mathbf{v}=(1,-1,-2). O produto escalar ficou
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = -m-1 = -(-4)-1 = 4-1 = 3.
As normas são \|\mathbf{u}\|=\sqrt{6} e \|\mathbf{v}\|=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}. Então
\frac{|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}=\frac{3}{\sqrt{6}\sqrt{6}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2},
que corresponde exatamente a \cos 60^\circ. Logo m=-4 é solução válida.

Resposta

m=-4

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