Nos exercícios 1-10, esboce a região de integração e calcule a integral.
integral0^1 integral0^y^2 3 y^3 e^x y d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^1integral0^y^23,y^3e^x y,dx,dy
usando interpretação da região de integração e Fubini. O conteúdo é integração iterada em coordenadas cartesianas.

Passo 2

A região de integração R no plano xy é descrita por
0<= y<=1, 0<= x<= y^2
Isso corresponde ao conjunto de pontos abaixo da parábola x=y^2 entre y=0 e y=1, todo em primeiro quadrante.

Passo 3

Vamos primeiro integrar em x, mantendo y fixo:
integral0^y^23,y^3e^x y,dx =3,y^3integral0^y^2e^x y,dx
Como integral e^x y,dx=1ye^x y, obtemos
3,y^3[e^x yy]0^y^2 =3,y^2l(e^y^3-1r)

Passo 4

Agora a integral em y fica
integral0^13,y^2(e^y^3-1),dy =integral0^13,y^2e^y^3,dy -integral0^13,y^2,dy

Passo 5

Para a primeira parte, use a substituição u=y^3, logo du=3y^2dy. Quando y vai de 0 a 1, u vai de 0 a 1, então
integral0^13,y^2e^y^3,dy =integral0^1e^u,du =e-1
A segunda parte é
integral0^13,y^2,dy =3cdot13=1

Passo 6

Subtraindo as duas partes, a integral total é
(e-1)-1=e-2

Resposta

e-2

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