Considere uma chapa quadrada de metal com 3m de lado que compõe a proteção lateral de um equipamento mecânico, que pode ser desenhada no primeiro quadrante do plano xy. Um engenheiro mediu sua temperatura e chegou à seguinte função para descrever o resultado de sua observação: T(x,y) = 3xy – 2y4. Assinale a alternativa que indica corretamente a taxa de variação da temperatura no ponto (2, 1) na direção de y. Selecione uma alternativa: a)-8.
b)-4.
c)-2.
d)2.
e)4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma chapa quadrada de metal de 3 metros de lado que está no primeiro quadrante do plano xy. Um engenheiro mediu a temperatura dessa chapa usando a função $ T(x, y) = 3xy - 2y^4 $. A pergunta é: qual é a taxa de variação da temperatura no ponto (2, 1) na direção de y? Para resolver isso, a gente vai precisar entender de derivadas parciais, que mostram como a temperatura muda quando a gente varia uma das variáveis mantendo a outra fixa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “taxa de variação da temperatura na direção de y”. Isso quer dizer que a gente quer saber como a temperatura muda quando a gente altera apenas a coordenada y, mantendo x fixo. Matematicamente, isso é representado pela derivada parcial de T em relação a y, ou seja, $ \frac{\partial T}{\partial y} $.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de $ T(x, y) = 3xy - 2y^4 $ em relação a y. Lembre-se que, ao derivar em relação a y, tratamos x como uma constante.
A derivada de $ 3xy $ em relação a y é:
T(x, y) = 3xy - 2y^4
A derivada de $ -2y^4 $ em relação a y é:
3xy
Então, juntando essas partes:
partialpartial y(3xy) = 3x

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa derivada parcial no ponto específico (2, 1). Substituímos x por 2 e y por 1 na expressão que encontramos:
partial Tpartial y|(2,1) = 3(2) - 8(1)^3
= 6 - 8
= -2

Resposta

A taxa de variação da temperatura no ponto (2, 1) na direção de y é -2. A alternativa correta é a c) -2.

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