A reta r é tangente ao gráfico da função y=x^2+2 x e é paralela à reta s de equação 8 x+2 y+13=0.
A reta r intercepta o eixo y no ponto P=(0, c), onde c é igual a

Passo 1

O enunciado pede o valor de c para que a reta tangente ao gráfico de y = x^2 + 2x seja paralela à reta s de equação 8x + 2y + 13 = 0 e intercepte o eixo y no ponto (0,c). Para resolver, vamos usar o conceito de derivada para obter o coeficiente angular da tangente.

Passo 2

Primeiro, encontramos o coeficiente angular de s e a expressão da derivada de f(x) = x^2 + 2x. Reescrevendo s:
8x + 2y + 13 = 0 implies 2y = -8x - 13 implies y = -4x - tfrac132
Logo, o coeficiente angular de s é ms = -4. A derivada de f(x) é
f'(x) = 2x + 2

Passo 3

Como a reta tangente precisa ser paralela a s, igualamos os coeficientes angulares:
2x + 2 = -4 implies 2x = -6 implies x = -3

Passo 4

Para encontrar o ponto de tangência, calculamos y0 = f(-3):
y0 = (-3)^2 + 2(-3) = 9 - 6 = 3
Então o ponto de tangência é (-3,3).

Passo 5

Agora escrevemos a equação da reta tangente, usando a forma ponto-declive:
y - y0 = m(x - x0) implies y - 3 = -4(x + 3)
Desenvolvendo:
y - 3 = -4x - 12 implies y = -4x - 9
Dessa forma, o intercepto no eixo y é c = -9.

Resposta

-9

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