Sabe-se que lim x +infty(3 x^2+x3 x^2)^a x+2=2.
O valor de a é

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor de a tal que limxto+inftyl(tfrac3x^2+x3x^2r)^ax+2=2. O conteúdo aqui é limite de forma indeterminada 1^infty, e vamos usar a estratégia de escrever o termo como exponencial usando logaritmo: L=lim f(x) é igual a e^limln f(x).

Passo 2

Primeiro, simplificamos a base:
3x^2+x3x^2=1+x3x^2=1+13x
Então a expressão vira l(1+tfrac13xr)^ax+2.

Passo 3

Aplicamos logaritmo natural e passamos o limite para o expoente:
lnl(l(1+tfrac13xr)^ax+2r)=(ax+2),lnl(1+tfrac13xr)
Para xto+infty, usamos a expansão ln(1+u)approx u quando uto0. Aqui u=1/(3x), então
lnl(1+tfrac13xr)simtfrac13x

Passo 4

Multiplicando pelo fator ax+2 obtemos
(ax+2)cdottfrac13x=ax3x+23x=a3+o(1)
Logo
limxto+inftylnl(l(1+tfrac13xr)^ax+2r)=a3

Passo 5

Como o limite original é e^limln(), temos
limxto+inftyl(1+tfrac13xr)^ax+2=e^a/3
Finalmente, igualamos esse resultado a 2 e resolvemos para a:
e^a/3=2Longrightarrowa3=ln2Longrightarrow a=3ln2

Resposta

a = 3\ln2

Exercícios relacionados