A reta t é paralela ao plano O x z, está contida em pi: x+2 y-z=2 e é concorrente com s. Obtenha uma equação paramétrica de t, nos casos:
s:(x, y, z)=(2,1,1)+lambda(1,0,2)

Passo 1

O enunciado pede uma reta t que satisfaça três condições:
  1. seja paralela ao plano O x z (equivalente a dizer que seu vetor diretor v tem componente y nula),
  2. esteja contida no plano pi: x+2y-z=2,
  3. intersecte a reta s dada por
(x,y,z)=(2,1,1)+lambda,(1,0,2)

Passo 2

Seja v=(vx,vy,vz) o vetor diretor de t.
Para que t seja paralela ao plano O x z, precisa valer vy=0.
Como v também está em pi, deve satisfazer
vcdot(1,2,-1)=0
Logo,
(vx,0,vz)cdot(1,2,-1)=vx-vz=0 Longrightarrow vx=vz
Podemos escolher v=(1,0,1).

Passo 3

Para achar o ponto de interseção P de s com pi, substituímos x=2+lambda, y=1, z=1+2lambda em x+2y-z=2:
(2+lambda)+2cdot1-(1+2lambda)=2 Longrightarrow 3-lambda=2 Longrightarrow lambda=1
Assim, o ponto comum é
P=(2+1,,1,,1+2cdot1)=(3,1,3)

Passo 4

Finalmente, a reta t passa por P=(3,1,3) e tem vetor diretor v=(1,0,1). Portanto, uma equação paramétrica de t é
(x,y,z)=(3,1,3)+mu,(1,0,1)

Resposta

(x,y,z)=(3,1,3)+mu,(1,0,1)

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