Esboce o gráfico da função f(x, y)=2-raizx^2+y^2 por encontrar suas curvas de nível.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função f(x,y)=2-raizx^2+y^2 usando suas curvas de nível. O conteúdo aqui é curvas de nível de funções de duas variáveis, e vamos usar a definição de nível: para cada valor k, a curva de nível é o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=k.

Passo 2

Começamos impondo f(x,y)=k. Assim:
2-raizx^2+y^2=k
Isolando a raiz:
raizx^2+y^2=2-k
Elevando ao quadrado e lembrando que raizx^2+y^2>=0 implica 2-k>=0:
x^2+y^2=(2-k)^2,
com a condição k<=2.

Passo 3

Essa equação descreve círculos centrados em (0,0) de raio
r=2-k,
o que significa que, para cada nível k<=2, temos uma circunferência de raio 2-k. Especificamente: para k=2 o raio é zero (ponto na origem), para k=1 o raio é 1, para k=0 o raio é 2, e assim por diante.

Passo 4

No plano xy, o esboço das curvas de nível são círculos concêntricos de raios crescentes à medida que k diminui de 2 para valores menores. Em 3D, essas seções horizontais correspondem às fatias de um cone invertido cuja equação explícita é
z=2-raizx^2+y^2
Portanto, o gráfico da função é exatamente esse cone com vértice em (0,0,2) e abertura linear, cujas seções horizontais são as curvas de nível que encontramos.

Resposta

As curvas de nível são círculos x^2+y^2=(2-k)^2 para k<=2, de raio r=2-k. O gráfico em 3D é um cone invertido de vértice em (0,0,2) dado por z=2-raizx^2+y^2.

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