Esboce o gráfico da função
por encontrar suas curvas de nível.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
usando suas curvas de nível. O conteúdo aqui é curvas de nível de funções de duas variáveis, e vamos usar a definição de nível: para cada valor
, a curva de nível é o conjunto de pontos
tais que
.
Passo 2
Começamos impondo
. Assim:
Isolando a raiz:
Elevando ao quadrado e lembrando que
implica
:
com a condição
.
Passo 3
Essa equação descreve círculos centrados em
de raio
o que significa que, para cada nível
, temos uma circunferência de raio
. Especificamente: para
o raio é zero (ponto na origem), para
o raio é 1, para
o raio é 2, e assim por diante.
Passo 4
No plano
, o esboço das curvas de nível são círculos concêntricos de raios crescentes à medida que
diminui de 2 para valores menores. Em 3D, essas seções horizontais correspondem às fatias de um cone invertido cuja equação explícita é
Portanto, o gráfico da função é exatamente esse cone com vértice em
e abertura linear, cujas seções horizontais são as curvas de nível que encontramos.
Resposta
As curvas de nível são círculos
para
, de raio
. O gráfico em 3D é um cone invertido de vértice em
dado por
.