Q1. A reta tangente ao gráfico da função, \mathrm{y}=\frac{x^{2}}{e^{x}}+1, ao ponto, \mathrm{P}=(0,1).

Passo 1

O enunciado dá a função y=\dfrac{x^{2}}{e^{x}}+1 e o ponto P=(0,1). A pergunta é: qual é a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto P?
Informações relevantes dadas:
  • A função: y=\dfrac{x^{2}}{e^{x}}+1.
  • O ponto de tangência: P=(0,1).

Passo 2

Primeiro confirmamos que o ponto P realmente está sobre o gráfico, calculando f(0) onde f(x)=\dfrac{x^{2}}{e^{x}}+1.
Calculando:
f(0)=\frac{0^{2}}{e^{0}}+1=\frac{0}{1}+1=1
Portanto o ponto (0,1) pertence à curva, como informado.

Passo 3

Explicação do conceito que vamos usar: a reta tangente a uma curva no ponto de abscissa a tem inclinação igual à derivada da função nesse ponto. A fórmula padrão da reta tangente é
y=f'(a)\,(x-a)+f(a)
onde:
  • f é a função dada;
  • a é a coordenada x do ponto de tangência;
  • f(a) é o valor da função em a (a ordenada do ponto);
  • f'(a) é a derivada de f avaliada em a (a inclinação da tangente).
    Aqui a=0, então precisaremos de f(0) (já calculado) e de f'(0).

Passo 4

Para achar f'(x) reescrevemos a função de forma conveniente:
f(x)=x^{2}e^{-x}+1
Vamos derivar o termo x^{2}e^{-x} usando a regra do produto: se u(x)=x^{2} e v(x)=e^{-x}, então
(u v)'=u'v+uv'.
Calculamos as derivadas parciais:
u'(x)=2x,\qquad v'(x)=\frac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}
(aplicou-se aqui a regra da cadeia: a derivada de e^{g(x)} é g'(x)e^{g(x)}; para g(x)=-x, g'(x)=-1). Agora aplicando a regra do produto:
f'(x)=2x\,e^{-x}+x^{2}(-e^{-x})+0

Passo 5

Fatorando e^{-x} em f'(x) obtemos uma forma mais simples:
f'(x)=e^{-x}\bigl(2x-x^{2}\bigr).
Agora avaliamos em x=0:
f'(0)=e^{0}\bigl(2\cdot 0-0^{2}\bigr)=1\cdot 0=0.
Logo a inclinação da reta tangente em P é 0.

Passo 6

Aplicando a fórmula da reta tangente com a=0, f'(0)=0 e f(0)=1:
y=f'(0)(x-0)+f(0)=0\cdot x+1=1.
Interpretação: a tangente é uma reta horizontal passando por y=1.

Resposta

y=1

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