Q1. A reta tangente ao gráfico da função,
, ao ponto,
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. A pergunta é: qual é a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto
?
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A função:
. - O ponto de tangência:
.
Passo 2
Primeiro confirmamos que o ponto
realmente está sobre o gráfico, calculando
onde
.
Calculando:
Calculando:
Portanto o ponto
pertence à curva, como informado.
Passo 3
Explicação do conceito que vamos usar: a reta tangente a uma curva no ponto de abscissa
tem inclinação igual à derivada da função nesse ponto. A fórmula padrão da reta tangente é
onde:
-
é a função dada; -
é a coordenada do ponto de tangência; -
é o valor da função em (a ordenada do ponto); -
é a derivada de avaliada em (a inclinação da tangente).
Aqui, então precisaremos de (já calculado) e de .
Passo 4
Para achar
reescrevemos a função de forma conveniente:
Vamos derivar o termo
usando a regra do produto: se
e
, então
Calculamos as derivadas parciais:
(aplicou-se aqui a regra da cadeia: a derivada de
é
; para
,
). Agora aplicando a regra do produto:
Passo 5
Fatorando
em
obtemos uma forma mais simples:
Agora avaliamos em
:
Logo a inclinação da reta tangente em
é
.
Passo 6
Aplicando a fórmula da reta tangente com
,
e
:
Interpretação: a tangente é uma reta horizontal passando por
.