Q5. Calcule \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{3}+2}{\sqrt[3]{x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende a -\infty da função
\frac{x^{3}+2}{\sqrt[3]{x^{2}}}.
Informações dadas:
  • A variável x tende a -\infty.
  • A expressão a analisar é \dfrac{x^{3}+2}{\sqrt[3]{x^{2}}}.

Passo 2

Entender a raiz cúbica de x^{2}. Como x^{2}\ge 0 para todo x\in\mathbb{R}, vale a propriedade dos expoentes sobre números não negativos:
\sqrt[3]{x^{2}}=(x^{2})^{1/3}=|x|^{2/3}.
Aqui |x| é o valor absoluto de x, sempre não negativo. Portanto o denominador é |x|^{2/3}, que para x\to-\infty corresponde a (-x)^{2/3} porque |x|=-x quando x<0.

Passo 3

Para simplificar a análise, faço a substituição simples que facilita a passagem ao infinito positivo: seja
t=-x,
então quando x\to-\infty temos t\to+\infty. Reescrevo numerador e denominador em função de t.

Passo 4

Calcular numerador e denominador em t:
x^{3}+2 = (-t)^{3}+2 = -t^{3}+2,
\sqrt[3]{x^{2}} = \sqrt[3]{(-t)^{2}} = \sqrt[3]{t^{2}} = t^{2/3}.
Assim a expressão fica
\frac{x^{3}+2}{\sqrt[3]{x^{2}}}=\frac{-t^{3}+2}{t^{2/3}}.

Passo 5

Simplificar dividindo cada termo por t^{2/3}. Uso a regra dos expoentes: t^{a}/t^{b}=t^{a-b}.
\frac{-t^{3}+2}{t^{2/3}}=-t^{3-2/3}+2t^{-2/3}=-t^{7/3}+2t^{-2/3}.
(Observe que 3-\tfrac{2}{3}=\tfrac{9}{3}-\tfrac{2}{3}=\tfrac{7}{3}.)

Passo 6

Estudo o comportamento quando t\to+\infty:
  • O termo -t^{7/3} tende a -\infty porque t^{7/3}\to+\infty e há o sinal negativo.
  • O termo 2t^{-2/3} tende a 0 porque t^{-2/3}=1/t^{2/3}\to 0.
Somando os dois termos, o termo dominante é -t^{7/3}, então a soma tende a -\infty.

Resposta

-\infty

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