Q6. Calcule \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(x) \cos (x)-x}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)\cos(x)-x}{x^{2}}.
Informações relevantes que temos imediatamente:
  • A expressão a ser avaliada é \dfrac{\operatorname{sen}(x)\cos(x)-x}{x^{2}}.
  • Ao substituir x=0 no numerador obtemos \operatorname{sen}(0)\cos(0)-0=0.
  • Ao substituir x=0 no denominador obtemos 0^{2}=0.
    Portanto trata‑se de uma forma indeterminada do tipo \tfrac{0}{0}.

Passo 2

Uma identidade trigonométrica útil e bem simples para simplificar o numerador é
\operatorname{sen}(x)\cos(x)=\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2x).
Esta identidade vem da fórmula de ângulo duplo para seno: \operatorname{sen}(2x)=2\operatorname{sen}(x)\cos(x). Usando isso, reescrevemos o limite como
\lim_{x\to 0}\frac{\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2x)-x}{x^{2}}.

Passo 3

Para analisar o comportamento para x pequeno, vamos usar as expansões em série de Taylor (ou Maclaurin) de ordem baixa para \operatorname{sen}. A expansão de \operatorname{sen}(z) ao redor de z=0 é
\operatorname{sen}(z)=z-\frac{z^{3}}{6}+o(z^{3}),
onde o(z^{3}) significa termos que são de ordem estritamente maior que z^{3} (ou seja, que ao dividir por z^{3} tendem a 0 quando z\to 0). Aqui explicando bem: o primeiro termo é linear porque \operatorname{sen}'(0)=1, o segundo termo vem do coeficiente -\tfrac{1}{6} relacionado à terceira derivada, e não precisamos de termos acima de ordem 3 para esta questão.
Agora aplicamos essa expansão com z=2x:
\operatorname{sen}(2x)=2x-\frac{(2x)^{3}}{6}+o(x^{3})=2x-\frac{8x^{3}}{6}+o(x^{3})=2x-\frac{4}{3}x^{3}+o(x^{3}).
Multiplicando por \tfrac{1}{2} obtemos
\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2x)=x-\frac{2}{3}x^{3}+o(x^{3}).

Passo 4

Substituindo essa expressão no numerador:
\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2x)-x=\Bigl(x-\frac{2}{3}x^{3}+o(x^{3})\Bigr)-x=-\frac{2}{3}x^{3}+o(x^{3}).
Dividindo pelo denominador x^{2}:
\frac{\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2x)-x}{x^{2}}=\frac{-\tfrac{2}{3}x^{3}+o(x^{3})}{x^{2}}=-\frac{2}{3}x+\frac{o(x^{3})}{x^{2}}.
Como \dfrac{o(x^{3})}{x^{2}}=o(x) e x\to 0, todos os termos tendem a 0. Portanto o limite vale 0.

Passo 5

Como verificação alternativa (opcional), pode‑se usar a regra de L’Hôpital duas vezes. Resumo rápido dos passos:
  • Diferenciando numerador e denominador uma vez obtém-se \dfrac{\cos(2x)-1}{2x}, ainda forma 0/0.
  • Aplicando L’Hôpital de novo e diferenciando obtém‑se \dfrac{-2\sin(2x)}{2}=-\sin(2x), que ao x\to0 0.
    Isto confirma o resultado obtido pela expansão em série.

Resposta

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