Q6. Calcule
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes que temos imediatamente:
- A expressão a ser avaliada é
. - Ao substituir
no numerador obtemos . - Ao substituir
no denominador obtemos .
Portanto trata‑se de uma forma indeterminada do tipo.
Passo 2
Uma identidade trigonométrica útil e bem simples para simplificar o numerador é
Esta identidade vem da fórmula de ângulo duplo para seno:
. Usando isso, reescrevemos o limite como
Passo 3
Para analisar o comportamento para
pequeno, vamos usar as expansões em série de Taylor (ou Maclaurin) de ordem baixa para
. A expansão de
ao redor de
é
onde
significa termos que são de ordem estritamente maior que
(ou seja, que ao dividir por
tendem a
quando
). Aqui explicando bem: o primeiro termo é linear porque
, o segundo termo vem do coeficiente
relacionado à terceira derivada, e não precisamos de termos acima de ordem 3 para esta questão.
Agora aplicamos essa expansão com
:
Multiplicando por
obtemos
Passo 4
Substituindo essa expressão no numerador:
Dividindo pelo denominador
:
Como
e
, todos os termos tendem a
. Portanto o limite vale
.
Passo 5
Como verificação alternativa (opcional), pode‑se usar a regra de L’Hôpital duas vezes. Resumo rápido dos passos:
- Diferenciando numerador e denominador uma vez obtém-se
, ainda forma . - Aplicando L’Hôpital de novo e diferenciando obtém‑se
, que ao dá .
Isto confirma o resultado obtido pela expansão em série.
Resposta
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