Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aquelas que são convergentes.
integral-2^2 1x^2-1 d x.

Passo 1

Nesse exercício a gente tem a integral imprópria
integral-2^21x^2-1,dx
com singularidades em x=±1. O conteúdo aqui é identificação de pontos de descontinuidade e uso de definição de integral imprópria para estudar convergência.

Passo 2

Precisamos quebrar a integral nos trechos onde ela está bem definida e tratar cada um como limite. Escrevemos:
integral-2^21x^2-1,dx =limato-1^-integral-2^a1x^2-1,dx +limbto-1^+integralb^c1x^2-1,dx +limdto1^-integralc^d1x^2-1,dx +limeto1^+integrale^21x^2-1,dx
onde escolhemos algum c entre -1 e 1 (por exemplo c=0).

Passo 3

A primitiva de 1/(x^2-1) é
integral1x^2-1,dx= rac12lnl|x-1x+1r|+C
Agora, por exemplo, ao olhar o trecho que vai até x→1⁻ temos
integralc^d1x^2-1,dx =12lnl|d-1d+1r|-12lnl|c-1c+1r|
e fazemos dto1^-. Mas d-1to0^- implica

, logo esse limite não existe (vai a -∞).

Passo 4

Como uma das parcelas da soma de limites já diverge, a integral imprópria não converge. Portanto não há valor finito para o integral original.

Resposta

A integral é divergente.

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