Uma reta variável passando por
corta o eixo
em
e o eixo
em
. Determine o triângulo
de área mínima, para
e
positivos.
Passo 1
O enunciado diz: uma reta variável passa por
e intercepta os eixos nos pontos
e
com
e
. O que nos pedem: determinar o triângulo
(com
) que tem área mínima. Dados relevantes extraídos do enunciado:
- A reta passa por
. - Interceptos da reta:
e , com e . - Área do triângulo
é .
Nenhum outro dado foi dado; a reta está totalmente determinada pore sujeitos à condição de passar por .
Passo 2
Escrevendo a equação da reta que corta os eixos em
e
: a forma intercepto é
Como a reta passa por
, substitui-se
nessa equação para obter a condição entre
e
:
Essa é a restrição que relaciona
e
.
Passo 3
Da restrição resolvemos
em função de
(isso reduz o problema a uma variável). Fazendo manipulação algébrica:
portanto
Para que
é necessário
, isto é
. Assim o domínio viável é
.
Passo 4
Escrevemos a área
do triângulo
como função de
. A área é
Substituindo
obtemos
Agora o problema é minimizar a função
em
.
Passo 5
Vamos achar os pontos críticos de
usando derivada (método básico de cálculo, passo a passo):
Cálculo da derivada de . Uso a regra do quociente: se
com
e
, então
Cálculo da derivada de
Aqui
e
. Logo
Fatorando o numerador:
Passo 6
Determinar zeros de
para
: o denominador
para
, então os zeros vêm de
, ou seja
ou
. Como precisamos de
, o único candidato é
.
Passo 7
Verificar que em
há mínimo. Observação de sinal simples: para
o denominador é positivo; o sinal de
é dado por
. Então
- se
temos e ⇒ (função decresce); - se
temos e ⇒ (função cresce).
Portantodecresce antes de e cresce depois de , logo é um mínimo global no intervalo .
Passo 8
Encontramos
. Agora obtemos
usando a relação entre
e
:
O triângulo desejado tem vértices
,
e
. A área mínima é
Resposta
Área mínima: