Uma reta variável passando por P(1,2) corta o eixo O x em A(a, 0) e o eixo O y em B(0, b). Determine o triângulo O A B de área mínima, para a e b positivos.

Passo 1

O enunciado diz: uma reta variável passa por P(1,2) e intercepta os eixos nos pontos A(a,0) e B(0,b) com a>0 e b>0. O que nos pedem: determinar o triângulo OAB (com O=(0,0)) que tem área mínima. Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • A reta passa por P(1,2).
  • Interceptos da reta: A(a,0) e B(0,b), com a>0 e b>0.
  • Área do triângulo OAB é \dfrac{1}{2}ab.
    Nenhum outro dado foi dado; a reta está totalmente determinada por a e b sujeitos à condição de passar por P.

Passo 2

Escrevendo a equação da reta que corta os eixos em A(a,0) e B(0,b): a forma intercepto é
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1.
Como a reta passa por P(1,2), substitui-se (x,y)=(1,2) nessa equação para obter a condição entre a e b:
\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1.
Essa é a restrição que relaciona a e b.

Passo 3

Da restrição resolvemos b em função de a (isso reduz o problema a uma variável). Fazendo manipulação algébrica:
\frac{2}{b}=1-\frac{1}{a}=\frac{a-1}{a},
portanto
b=\frac{2a}{a-1}.
Para que b>0 é necessário a-1>0, isto é a>1. Assim o domínio viável é a>1.

Passo 4

Escrevemos a área S do triângulo OAB como função de a. A área é
S=\frac{1}{2}ab.
Substituindo b=\dfrac{2a}{a-1} obtemos
S(a)=\frac{1}{2}\,a\cdot\frac{2a}{a-1}=\frac{a^{2}}{a-1},\qquad a>1.
Agora o problema é minimizar a função S(a) em a>1.

Passo 5

Vamos achar os pontos críticos de S(a) usando derivada (método básico de cálculo, passo a passo):
Cálculo da derivada de S(a)=\dfrac{a^{2}}{a-1}. Uso a regra do quociente: se S=\dfrac{u}{v} com u=a^{2} e v=a-1, então
S'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui u'=2a e v'=1. Logo
S'(a)=\frac{2a(a-1)-a^{2}\cdot1}{(a-1)^{2}}=\frac{2a^{2}-2a-a^{2}}{(a-1)^{2}}=\frac{a^{2}-2a}{(a-1)^{2}}.
Fatorando o numerador:
S'(a)=\frac{a(a-2)}{(a-1)^{2}}.

Passo 6

Determinar zeros de S'(a) para a>1: o denominador (a-1)^{2}>0 para a\ne1, então os zeros vêm de a(a-2)=0, ou seja a=0 ou a=2. Como precisamos de a>1, o único candidato é a=2.

Passo 7

Verificar que em a=2 há mínimo. Observação de sinal simples: para a>1 o denominador é positivo; o sinal de S'(a) é dado por a(a-2). Então
  • se 1<a<2 temos a>0 e a-2<0 S'(a)<0 (função decresce);
  • se a>2 temos a>0 e a-2>0 S'(a)>0 (função cresce).
    Portanto S decresce antes de a=2 e cresce depois de a=2, logo a=2 é um mínimo global no intervalo a>1.

Passo 8

Encontramos a=2. Agora obtemos b usando a relação entre a e b:
\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2}+\frac{2}{b}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{2}{b}=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad b=4.
O triângulo desejado tem vértices O(0,0), A(2,0) e B(0,4). A área mínima é
S_{\min}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 4=4.

Resposta

A(2,0),\\ B(0,4)
Área mínima: 4

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