Escreva, em cada caso, o sistema associado à representação matricial dada:
(b)
\left(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & -2 \\\\ 1 & -1 & 3 \\\\ 2 & 1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 11 \\\\ 10 \\\\ 16 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: escrever o sistema linear associado à representação matricial dada. As informações fornecidas são a matriz dos coeficientes, o vetor das incógnitas e o vetor dos termos independentes:
A=\begin{pmatrix} 5 & 7 & -2 \\\\ 1 & -1 & 3 \\\\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix},\quad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix},\quad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}11\\\ 10\\\ 16\end{pmatrix}
Ou seja, foi dada a igualdade matricial A\mathbf{x}=\mathbf{b} com os valores explicitados acima.

Passo 2

Explicação didática do que significa multiplicar uma matriz pelo vetor coluna de incógnitas: cada linha da matriz A faz um produto interno (ou “produto escalar”) com o vetor \mathbf{x}. Em notação geral, se A=(a_{ij}) e \mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)^T, então a i-ésima equação do sistema é
\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_j = b_i.
Aqui, para n=3, isso quer dizer que a primeira equação vem da primeira linha de A, a segunda da segunda linha, e a terceira da terceira linha. Cada coeficiente a_{ij} multiplica a incógnita correspondente x_j e a soma desses produtos é igual ao termo b_i.

Passo 3

Aplicando a regra à primeira linha de A: a primeira linha é \begin{pmatrix}5 & 7 & -2\end{pmatrix}. O produto com \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} é
5x+7y-2z.
Esse resultado deve ser igual ao primeiro componente de \mathbf{b}, que é 11. Logo a primeira equação é
5x+7y-2z=11.

Passo 4

Aplicando à segunda linha de A: a segunda linha é \begin{pmatrix}1 & -1 & 3\end{pmatrix}. O produto com \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} é
1\cdot x + (-1)\cdot y + 3\cdot z = x - y + 3z.
Esse resultado deve ser igual ao segundo componente de \mathbf{b}, que é 10. Logo a segunda equação é
x - y + 3z = 10.

Passo 5

Aplicando à terceira linha de A: a terceira linha é \begin{pmatrix}2 & 1 & 1\end{pmatrix}. O produto com \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} é
2x + 1y + 1z = 2x + y + z.
Esse resultado deve ser igual ao terceiro componente de \mathbf{b}, que é 16. Logo a terceira equação é
2x + y + z = 16.

Passo 6

As três equações obtidas nas etapas anteriores formam o sistema linear associado à representação matricial dada. Se ficou nervoso, respira fundo: isso é só escrever cada linha como uma equação — você já fez o mais difícil, que é entender o processo. Vai dar certo!

Resposta

5x+7y-2z=11
x-y+3z=10
2x+y+z=16

Exercícios relacionados